LCD 通用 Jones Calculus 模型
LCD 通用 Jones Calculus 模型
我們可以將一個 LCD 像素建模為一個光學系統：
背光（非偏振） → 下偏振片 → 液晶層 → 上偏振片 → 觀察者
Jones Calculus 忽略非偏振光，所以我們從光變成線性偏振光之後開始計算。我們關注的是液晶層的 Jones Matrix \( \mathbf{M}_{LC} \)，因為它是區分不同技術的關鍵。
1. TN (Twisted Nematic) 模式
特點：液晶分子從上到下扭曲 90°。
a) 亮態（電壓關閉）
液晶層作為一個 90° 偏振旋轉器。
- 下偏振片：假設為垂直 \(Y\) \( \mathbf{J}_{in} = \mathbf{J_y} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
- 液晶層矩陣 \(90° 旋光器\)： \( \mathbf{M}_{LC(TN)} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)
- 上偏振片：假設為水平 \(X\) \( \mathbf{P_x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
計算： \( \mathbf{J}_{out} = \mathbf{P_x} \cdot \mathbf{M}_{LC(TN)} \cdot \mathbf{J_{y}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} \)
結果：輸出為強度為 1 的水平偏振光 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)。亮態。
b) 暗態（電壓開啟）
液晶分子直立，失去旋光能力，相當於一個單位矩陣。 \( \mathbf{M}_{LC(TN)} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
計算： \( \mathbf{J}_{out} = \mathbf{P_x} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{J_{y}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
結果：沒有光輸出。暗態。
TN 總結：輸出偏振態在亮態時為水平。這解釋了為何旋轉偏光鏡時，在一個方向上會完全變暗。
2. IPS (In-Plane Switching) 模式
特點：液晶分子在平面內旋轉，上下偏振片平行（同為垂直）。
a) 暗態（電壓關閉）
液晶層不對光學路徑產生影響，相當於單位矩陣。
- 下偏振片：垂直 \( \mathbf{J}_{in} = \mathbf{J_y} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
- 液晶層矩陣： \( \mathbf{M}_{LC(IPS)} \approx \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
- 上偏振片：垂直 \( \mathbf{P_y} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
計算： \( \mathbf{J}_{out} = \mathbf{P_y} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{J_{y}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)
結果：輸出為強度為 1 的垂直偏振光。亮態（與 TN 相反）。
b) 亮態/灰階（電壓開啟）
液晶層作為一個可調諧的波片，其快軸在 45°。在最有效的狀態下，它相當於一個半波片。
- 45° 半波片矩陣： \( \mathbf{W}_{HWP(45)} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \)
- 輸入光仍是垂直偏振。
計算： \( \mathbf{J}_{after\ LC} = \mathbf{W}_{HWP(45)} \cdot \mathbf{J_{y}} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i \\ 0 \end{bmatrix} \) 現在光變成了水平偏振光。 \( \mathbf{J}_{out} = \mathbf{P_y} \cdot \mathbf{J}_{after\ LC} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} i \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
結果：沒有光輸出。暗態。
IPS 的關鍵輸出偏振態： 在實際的 IPS 面板中，為了廣視角而加入的補償膜，以及在不同灰階下，液晶層不完全是一個理想的半波片，這導致光在到達上偏振片之前的偏振態是一個特定角度的線性偏振光（通常是 45°）。
因此，我們可以更簡單地直接將 IPS 的「光學堆疊」視為一個 45° 偏振光產生器： \( \mathbf{J}_{out, IPS} = \mathbf{J_{45}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
這完美地解釋了您的實驗：偏光鏡必須旋轉 45° 才能與其偏振方向垂直，從而達到最暗。
3. VA (Vertical Alignment) 模式
特點：不通電時液晶分子垂直排列，通電時傾倒。
a) 暗態（電壓關閉）
液晶分子垂直，相當於單位矩陣。偏振片通常設為交叉（例如下X上Y）。
- 下偏振片：水平 \( \mathbf{J}_{in} = \mathbf{J_x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)
- 液晶層：單位矩陣
- 上偏振片：垂直
計算： \( \mathbf{J}_{out} = \mathbf{P_y} \cdot \mathbf{I} \cdot \mathbf{J_{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
結果：暗態（原生對比度高）。
b) 亮態（電壓開啟）
液晶分子傾倒，作為一個波片，將線偏振光轉變為橢圓偏振光，其中一部分光可以通过上偏振片。
VA 總結：其輸出偏振態通常是橢圓偏振光，這解釋了為什麼旋轉偏光鏡觀看 VA 屏幕時，很少看到完全變黑的狀態，總是有些許漏光。
綜合比較表 (Jones Calculus 視角)
| LCD 模式 | 關鍵光學元件 (Jones Matrix) | 典型輸出偏振態 (Jones Vector) | 與偏光鏡互動 |
|---|---|---|---|
| TN (亮態) | 90° 旋光器 \( \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) | \( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) (水平) | 眼鏡垂直時最暗 |
| IPS (特徵態) | 補償膜+液晶層 (等效) | \( \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) \(45°\) | 眼鏡轉 45° 時最暗 |
| VA (亮態) | 可調波片 | 橢圓偏振光 | 無法完全變黑 |
結論
通過 Jones Calculus，我們可以：
- 精確預測：無需真實實驗，即可計算出光通過複雜 LCD 結構後的偏振態。
- 清晰區分：從數學本質上理解為何 TN 和 IPS 在偏光鏡下表現迥異。
- 逆向工程：根據實驗觀察到的偏振態（例如 45°），反推屏幕內部可能使用的技術和光學元件。
您將一個日常觀察提升到了嚴謹的物理建模層面，這正是 Jones Calculus 的威力所在。它讓偏振光學從一種「現象」變成了一門可精確計算和設計的「工程」。
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