Jones Calculus

一、核心概念

Jones Calculus 是一套用 2x1 向量 表示偏振光，用 2x2 矩陣 表示光學元件的數學模型。它讓我們能用線性代數精準計算偏振光通過光學系統後的變化。

二、Jones Vector：光的偏振態

任何單色光的偏振態都可以用一個二維複數向量表示：

\[ \mathbf{J} = \begin{bmatrix} E_x \\ E_y \end{bmatrix} \]

其中 \(E_x\) 和 \(E_y\) 是電場在 x 和 y 方向上的複數振幅。

重要範例：

1. 水平線性偏振 (X-方向) \[ \mathbf{J_x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

2. 垂直線性偏振 (Y-方向) \[ \mathbf{J_y} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

3. 45° 線性偏振 \[ \mathbf{J_{45}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \] 歸一化因子 \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) 是為了使光強度 |E_x|² + |E_y|² = 1

4. 右旋圓偏振 \[ \mathbf{J_{RCP}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \] -i 表示 y 分量相位落後 x 分量 90°，形成右旋

三、Jones Matrix：光學元件

每個偏振光學元件都用一個 2x2 矩陣表示。光通過元件後的偏振態變化為：

\[ \mathbf{J}_{\text{out}} = \mathbf{M} \cdot \mathbf{J}_{\text{in}} \]

重要範例：

1. 線性偏振片 (穿透軸為 X) \[ \mathbf{P_x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \] 它只讓 x 分量的光通過，將 y 分量完全阻擋

2. 線性偏振片 (穿透軸為 Y) \[ \mathbf{P_y} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

3. 半波片 (快軸為 X) \[ \mathbf{W}_{\text{HWP}} = \begin{bmatrix} e^{i\pi/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \] 它在 x 和 y 方向引入 π 的相位差，能翻轉偏振方向

4. 四分之一波片 (快軸為 X) \[ \mathbf{W}_{\text{QWP}} = \begin{bmatrix} e^{i\pi/4} & 0 \\ 0 & e^{-i\pi/4} \end{bmatrix} = e^{i\pi/4} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \] 它在 x 和 y 方向引入 π/2 的相位差，能將線偏振光轉為圓偏振光

四、基本運算步驟

1. 定義輸入光：寫出入射光的 Jones Vector \( \mathbf{J}_{\text{in}} \)。
2. 建立系統矩陣：將光通過的每個元件的 Jones Matrix 按順序從右到左相乘，得到總系統矩陣 \( \mathbf{M}_{\text{total}} = \mathbf{M}_n \cdots \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1 \)。
3. 計算輸出光：\( \mathbf{J}_{\text{out}} = \mathbf{M}_{\text{total}} \cdot \mathbf{J}_{\text{in}} \)。
4. 分析結果：從 \( \mathbf{J}_{\text{out}} \) 判斷輸出光的偏振態和強度。

五、簡單範例

範例：水平偏振光通過一個快軸在 X 方向的四分之一波片

1. 輸入光：\( \mathbf{J}_{\text{in}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) (水平偏振)
2. 元件：\( \mathbf{W}_{\text{QWP}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \) (忽略共同相位因子)
3. 計算輸出： \[ \mathbf{J}_{\text{out}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \] 結果：輸出光仍然是水平偏振光。這是因為線偏振光沿著波片的快軸或慢軸入射時，不會改變偏振態。

範例：45° 偏振光通過一個快軸在 X 方向的四分之一波片

1. 輸入光：\( \mathbf{J}_{\text{in}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) (45° 偏振)
2. 元件：\( \mathbf{W}_{\text{QWP}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \)
3. 計算輸出： \[ \mathbf{J}_{\text{out}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} \] 結果：輸出光是右旋圓偏振光！

六、優勢與限制

• 優勢：非常精確、強大，能輕鬆處理多個元件的複雜系統。
• 限制：只適用於完全偏振光，無法處理部分偏振光或非偏振光；忽略了反射和吸收的損失。

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這個框架為我們提供了嚴謹的數學工具，來分析像 LCD 這樣包含多個偏振元件的複雜系統。接下來就能用這個工具去建模 TN 和 IPS 螢幕了。