金子的AI 筆記本

從 University 到 Multiversity：大學的詞源與當代表述 你是否曾經想過，大學（ University ）這個字，其實與「宇宙（ universe ）」有相同的詞根？ 它們都來自拉丁語 universus ，意思是「轉向一個整體的東西」（uni- 表「單一」，versus 表「轉向」）。換句話說， University 的原意，就是朝向「整體性知識」的一種社群與制度 。 大學是一元的嗎？ 在中世紀歐洲，大學是少數能整合神學、哲學、醫學與法律的場所，被視為追求「真理整體」的象徵。因此，University 含有某種「普世理性」與「一體化知識」的意涵。 但進入二十一世紀後，這種一元中心的觀念遭遇挑戰—— 不同文化有不同知識系統（如原住民知識、非西方科學） 不同社群有不同價值觀與認識論 甚至在科學界，也出現「多重宇宙（ multiverse ）」的理論，取代單一宇宙的想像 Multiversity 的出現 於是，有些學者提出新的詞彙：「 Multiversity 」。這個詞最早由非洲學者、後殖民思想家在二十世紀中後期提出，用來反對殖民教育體系的單一知識架構，主張： 大學不應是西方理性中心的延伸，而應是多元知識、多元實踐的對話場域。 Multiversity 指的，不只是有很多學系、很多學生，而是一個「 多世界觀共存 」的學術平台。 中文的「大學」避開了這個問題？ 奇妙的是，中文的「大學」翻譯，似乎巧妙地繞過了「uni-」與「multi-」的張力。 「大」意味著宏大、開放、廣博 「學」表示學問、探索、學派的多樣 因此，「大學」並沒有語源上的「單一中心」隱喻，反而更像是一個自然的「Multiversity」—— 一個多元並陳、追求真理但不壓抑差異的學術場域 。 大學的未來：統一與多元之間 我們是否仍需要一個「整體性的知識」？還是應該承認知識本身就是多元的？這是一個當代教育與哲學無法迴避的問題。 也許，我們所需要的，是一個新的理解框架： 一個既尊重差異，也能促進對話； 一個不強求統一，但保有共同討論的空間。 這樣的精神，或許正可以被稱作—— 「我們貢獻這個大學於宇宙的精神」 ...

大學與宇宙：同一詞源的精神傳承 你是否曾想過，「大學」（ university ）與「宇宙」（ universe ）這兩個看似截然不同的詞，竟然有著共同的詞源？事實上，它們都來自拉丁文 universum ，其基本含義是「整體」、「一切事物的總和」。 拉丁文 universum 是由 uni- （意為「單一」、「統一」）與 versus （來自 vertere ，「轉向」）組合而成，原意是「朝向統一的整體」──這正是「宇宙」一詞的原初哲學意涵：一個內部萬物互通、邏輯一致、可被理性理解的世界。 「University」作為精神整體 中世紀歐洲的大學起源於 12 至 13 世紀的教會學校，最初並非指建築，而是指學者與學生的組成體── universitas magistrorum et scholarium ，意即「師生共同體」。 這裡的 universitas 並不單指知識的集合，更強調其內部的整合性與一致性。也就是說，大學象徵的是一個知識有機體，它不僅教導各科技藝，也試圖理解這些知識如何統合為「整體之理」──亦即「宇宙之理」。 宇宙的精神：知識的整體性與倫理召喚 在這樣的背景下，「大學」之名不只是教育機構的稱呼，更是一種信念的體現──相信知識可被整合，世界是可被理解的；更進一步，相信人在探索這種整體秩序時，也在成就自身倫理與靈魂的昇華。 正如傅斯年校長於臺大校慶所言，他引用斯賓諾莎（Baruch Spinoza）的格言來表達對大學的期許： 「我們貢獻這個大學於宇宙的精神。」 這句話中的「宇宙的精神」，並非指物理意義下的天體運行，而是一種哲學上的理性整體，是理性、真理與倫理的綜合體。它召喚人類不僅去知識地探索世界，更去倫理地參與世界。 結語 因此，當我們說「大學是社會的良心」，這不只是口號，而是延續了從古希臘、拉丁、中世紀至今的深層信念──大學不只是知識的容器，更是理性宇宙觀的實踐場，是人類企圖理解與參與整體秩序的精神堡壘。 最後，讓我們借用斯賓諾莎的話作為結語： 「我們貢獻這個大學於宇宙的精神。」

T-score 是什麼？骨密度檢查的關鍵指標 在醫院做骨質密度檢查時，許多人會拿到一個看似簡單的數字 —— T-score。但這個分數不只是「骨頭好不好」的量表，它其實是一個來自統計學的語言，一個把身體狀況放入數學模型中的結果。 本篇文章的目的不僅是告訴你 T-score 是什麼、怎麼算，更希望帶你看見它為什麼這樣設計、背後的原理是什麼。這樣的理解，不僅能讓你對骨質健康有更深刻的認識，也能幫助你建立一種更有力量的思考方式：從一個具體的醫學問題，學會用一般性的原則去看待現象。 T-score 是一個統計指標，用來描述你的骨頭密度（Bone Mineral Density, 簡稱 BMD）和年輕健康成年人之間的差距。想像有一個標準值代表三十歲左右、骨骼最健康時的平均骨密度。當你做骨密度檢查時，醫生會將你的數據與這個「黃金標準」相比較，看看你距離正常有多遠。 T-score 的計算公式 T-score = (你的 BMD - 年輕人平均 BMD) ÷ 標準差 例如： 你的 BMD = 0.85 g/cm² 年輕健康群體的平均 BMD = 1.00 g/cm² 該群體的標準差 SD = 0.10 g/cm² 則： T-score = (0.85 - 1.00) ÷ 0.10 = -1.5 T-score 如何解讀？ 世界衛生組織（WHO）訂出以下標準來判斷骨密度的狀況： T-score 值 判斷結果 ≥ -1.0 骨密度正常 -1.0 ~ -2.5 骨質疏鬆前期（骨質減少） ≤ -2.5 骨質疏鬆 ≤ -2.5 且已有骨折 嚴重骨質疏鬆 這個分數幫助醫...

骨質密度的量測原理：從X光吸收看骨頭裡的密碼 你知道骨頭其實會「吃掉」X光嗎？這正是現代醫學量測骨質密度（BMD）的關鍵所在！其中最常用的技術是 DEXA 或是 DXA （Dual-energy X-ray Absorptiometry），也就是 雙能量X光吸收儀 。這種技術不只安全快速，而且可以量化骨頭的健康狀況，是骨質疏鬆症診斷的金標準。 X光會被骨頭與軟組織吸收 當X光通過身體時，它會被骨頭與軟組織（例如肌肉與脂肪）部分吸收。吸收的多寡與材料的密度、厚度，以及X光的能量都有關。基本的吸收公式（Beer-Lambert Law）是： I = I₀ × e –μx 其中： I₀ 是原始X光強度 I 是通過物體後的剩餘強度 μ 是該物質對X光的線性吸收係數（Linear attenuation coefficient） x 是該物質的厚度 這就像在陽光下蓋一層遮光布：布越厚，透過的光越少。 雙能量的好處——聯立方程式 問題是：身體裡不只有骨頭，還有軟組織。若只用一組X光能量，我們無法分辨骨頭吸收多少、軟組織吸收多少。但如果我們使用兩種不同能量的X光（例如低能量與高能量），就可以建立兩個吸收方程式。 來看看簡化的數學模型： 設： x_b ：骨頭的厚度（未知） x_s ：軟組織的厚度（未知） μ_bL 、 μ_sL ：低能量X光對骨頭與軟組織的吸收係數 μ_bH 、 μ_sH ：高能量X光對骨頭與軟組織的吸收係數 我們可以寫出兩條方程： I L = I₀ L × e –(μ bL x b + μ sL x s ) I H = I₀ H × e –(μ bH x b + μ sH x s ) 這兩個式子中有兩個未知數： x_b 和 x_s ，也就是骨與軟組織的厚度。我們可以對這兩個式子取對數，轉成線性聯立方程式： ln(I L /I₀ L ) = –μ bL x b – μ sL x s ln(I H /I₀ H ) = –μ bH x b – μ sH x s 這就是兩個變數的二元一次方程組，利用線性代數或高中的消元法就能解出骨頭與軟組織的厚度。 厚度 x 密度 = 質量 ...

宇宙的精神──從斯賓諾莎到大學的理想 我們常聽到「大學精神」這個詞，但如果將視野拉得更遠，有沒有可能，一所大學所追求的，不只是民族的希望、國家的棟樑，而是整個 宇宙的精神 ？這句話聽起來或許高遠，卻並非虛無縹緲。事實上，它可追溯至十七世紀的哲學家──巴魯赫・斯賓諾莎（Baruch Spinoza）。 斯賓諾莎與「宇宙的精神」 斯賓諾莎被譽為「哲學中的哲學家」。他提出的神即自然（ Deus sive Natura ）觀點，認為宇宙萬物皆屬於同一實體，所有存在都是無限自然的一部分。這種觀點所強調的，是一種超越人類個體、宗教儀式與文化差異的 普遍理性 ，是一種貫通萬象、內在於宇宙結構之中的「精神」。 「真正自由的人，不以死亡為念，他的智慧是對生命的沉思，不是對死亡的默想。」 ── 斯賓諾莎，《倫理學》 在這樣的哲學觀中，知識的追求本身就是一種道德行動──理解宇宙秩序、理解自然規律，也就等於靠近「神性」，或說接近一種終極的智慧與和諧。 傅斯年與大學的宇宙精神 1950年代，歷史學者傅斯年擔任國立臺灣大學校長時，在一次校慶演講中引用斯賓諾莎的話，說出那句感人至深的話： 「我們貢獻這個大學於宇宙的精神。」 ── 傅斯年 這不是一種抽象的誇讚，而是表明：一所大學的存在意義，超越政治與功利目標，而是肩負著探索宇宙真理、培育自由思想、維護理性與良知的責任。這也正是啟蒙哲學傳統所遺留下來的核心理想。 從個人走向宇宙 當我們今天重新思考大學的意義，也許該回到這個問題：我們學習，是為了什麼？是為了職業、頭銜，還是為了更深層地理解這個世界、成為負責任的思想者？ 若我們能夠將一所大學視為「宇宙的器官」，讓每一位學生與學者皆成為宇宙秩序的感知者與思考者，那麼這所大學便不再只屬於某個時代、某塊土地，而是參與了永恆智慧的一部分。 結語： 我們貢獻這個大學於宇宙的精神。 ── 借用斯賓諾莎的格言

骨水泥的化學祕密：壓克力如何幫助修補人體 你或許聽過「骨水泥」這個名詞，但它並不是建築用的水泥，而是一種醫療用的高分子材料，常用來固定人工關節、穩定脊椎，甚至填補因腫瘤造成的骨骼空洞。這種神奇材料的核心，就是一種大家很熟悉的東西： 壓克力（Acrylic） ！ PMMA：壓克力的化學名稱 骨水泥的主要成分是 聚甲基丙烯酸甲酯 ，英文縮寫為 PMMA （Poly(methyl methacrylate)），也就是我們常說的壓克力。你在展示架、壓克力板、眼鏡片中都可能見過這種材料的應用。 💡 PMMA 是一種熱塑性塑膠，透明、堅固，對光穩定性高，也相當生物相容，適合用於人體內。 MMA 單體：小小分子變大分子的魔法 在骨科手術中，醫師會把 甲基丙烯酸甲酯 （MMA）單體液體與 PMMA 粉末混合，加入一點引發劑，數分鐘內這些小分子就會進行聚合反應，變成堅固的塑膠骨水泥。 單體結構式： CH 2 =C(CH 3 )COOCH 3 聚合後的重複單元： [-CH 2 -C(CH 3 )(COOCH 3 )-] n 這是典型的「自由基聚合」反應。我們只需要一點熱（或促進劑），引發劑就會產生自由基，自由基再攻擊單體上的碳碳雙鍵，讓它們一個接一個連接起來，成為長鏈高分子。 這不是「水泥」，但比水泥還厲害！ 固化後的骨水泥能快速穩固人工關節，支撐身體重量，並可在聚合反應時加入抗生素或放射不透明物質，以防感染並便於X光觀察。 聚合熱效應 MMA 聚合是 放熱反應 ，可產生高達 80–90°C 的熱度，這在醫療上有雙面性： ✔ 有助於骨水泥快速硬化、黏附 ⚠️ 太熱可能造成周圍骨細胞輕微壞死 學科連結與延伸閱讀 骨水泥是一個跨足化學、高分子科學與醫學工程的材料，它讓我們看到一個簡單的單體分子，經過設計與控制，可以在人體中扮演關鍵角色。你可以從以下幾個方向進一步探索： 🔬 高分子聚合反應的熱力學與動力學 🧠 生物...

Reflections of Reality──Bakker 與柏拉圖洞穴的視覺對話 在 2025 年的 Bridges 數學藝術大會中，藝術家 Anton Bakker 發表了一場引人深思的演講，他以自身雕塑作品 Reflections of Reality 為例，探討了「多重視角」與「現實的折射」之間的深刻關聯。最引人注目的，是他在一張投影片中引用柏拉圖的洞穴寓言，並將之與現代雕塑的空間感知進行對話。 從柏拉圖的洞穴到現代雕塑 柏拉圖在《理想國》中以洞穴寓言描繪人類的知識狀態：囚徒被困在洞穴中，只能看到牆上的影子，誤以為那就是「現實」本身。真正的知識，必須來自轉身、走出洞穴、見到陽光下的真實事物。而 Bakker 的雕塑，正好呼應這一轉向。 在 Reflections of Reality 中，雕塑由數個鏡面幾何構成，每一個角度看到的畫面都不同。正如囚徒在洞穴中只能看到一種「單一投影」，觀眾若只停留於一個角度觀看雕塑，也只能接收到一個片面的現實。 「我們總以為自己看到的是完整的世界，殊不知那只是其中一種投影。」──Anton Bakker 幾何、光線與真實的關係 Bakker 特別強調他的雕塑並不提供單一「正確」觀看角度，而是邀請觀者主動移動、探索，在不同位置感受形狀與光線如何共同塑造出「現實的多重映像」。這種觀念與數學上的「投影」、「對稱」與「重構」緊密相連，也與哲學中的知覺論有相通之處。 Reflections of Reality 不只是一個視覺物件，更是一場關於「我們如何認識現實」的思辨實驗。正如洞穴寓言中那位走出洞穴、再回來與同伴分享真相的人，這座雕塑也邀請觀者從不同視角重新觀看世界，並質疑單一觀點的侷限。 藝術與哲學的交會 Bakker 的創作顯示，數學藝術不只是視覺上的對稱與結構，更是哲學思辨的一種途徑。在當代藝術與科學交界之處，像這樣的作品提醒我們：視角決定了我們所謂的「現實」，而雕塑提供了一種轉動視角的機會。 Reflections of Reality 是一面多面鏡，映照出我們對世界的多重理解，也映照出柏拉圖時代以來不曾消失的問題： 我們看到的，真的是世界本身嗎？ “A single perspective is b...

Origami Hoopla：數學摺紙的奇幻世界 活動主持人： Faye Goldman、Racheli Yovel、Rodrigo Fernandez 活動地點： Bridges 2025 Family Day 官方連結： Bridges 2025 Family Day 網頁 你知道嗎？只需一張正方形紙，就能摺出充滿數學意涵的立體雕塑！在 Origami Hoopla 工作坊中，三位摺紙藝術家攜手帶來一場老少咸宜、創意無限的摺紙體驗──從簡單的動物模型、經典的 Sonobe 模組，到具幾何美感的摺紙樹，每一張摺紙背後，都是一段數學思維的展開。 從方紙到結構：摺出數學的邏輯與藝術 這場工作坊特別挑選了適合所有年齡層的模型，無論你是第一次接觸摺紙，還是對幾何摺疊早有涉獵，都能從中找到樂趣。你可以學習摺出一隻紙動物、一個模組立方體，或者貢獻一個小單元，參與共同完成一件大型裝置藝術。 Sonobe 單元與幾何樹：模組摺紙的魅力 活動中使用的模組摺紙技法，包含了經典的 Sonobe 單元 ，這是一種可以用來構築多面體結構的簡單模件。將數個單元組合起來，你可以摺出四面體、立方體、甚至是複雜的星形多面體。這些結構既具幾何規律性，又充滿創造空間，深受摺紙與數學愛好者喜愛。 另一個亮點是 幾何摺紙樹（geometric tree） ──由多位參加者分工摺疊枝幹與葉片，最後拼成一棵象徵成長與連結的大型幾何樹，既是數學雕塑，也是集體創作的成果。 不只是摺紙──是激發數學問題的種子 Origami Hoopla 不只是教你如何摺紙，更鼓勵參與者思考其中的數學邏輯──對稱性、角度、單元組裝、空間轉換……這些問題不限年齡、也不限程度，從小學生到數學教授，每個人都能從摺紙中獲得不同層次的啟發。 你可以帶走什麼？ 完成的模型中，有些是參加者可以帶回家的小作品，作為紀念與延伸探索的起點；有些則成為大型團體創作的一部分，留在活動現場展示。這樣的設計，讓參加者既能獨立創作，也能參與社群式的數學藝術行動。 文中介紹之 Origami Hoopla 為 Bridges 2025 Family Day 精選工作坊之一，歡迎關心數學藝術、摺紙與教育推...

CurveBalls：把數學曲線變成立體球體 活動主持人： Brett Degnan 活動地點： Bridges 2025 Family Day 官方連結： Bridges 2025 Family Day 網頁 在這個充滿色彩與創造力的親子工作坊中，參加者使用印有鮮豔大理石花紋的紙條，組裝出一顆顆神奇的 CurveBall ──彷彿將平面上的數學曲線，變形成立體空間中的幾何球體。 從紙條到球體──數學與藝術的變形術 每一條卡紙上都印有優美的曲線圖樣：可能是貝茲曲線、波形或幾何變換圖像。當你沿著指定摺線摺疊、再將紙條彎曲、黏貼成球形，你會驚訝地發現──這些原本扁平的圖案，竟隨著曲面轉動產生視覺幻象，宛如數學在空間中舞動。 「壓線」技巧：把摺疊變得簡單 為了讓參加者能更容易完成組裝，我們在活動前特別準備好了一個關鍵步驟── 在紙上的曲線處壓線 （英文為 scoring ），使用的是空心圓珠筆或壓線筆，在紙面上壓出淺淺的凹痕，幫助紙張更容易沿著指定路徑對摺。 令人感動的是，這個步驟也開放讓現場的藝術家、數學家與親子參加者共同完成──你會看到一群人圍在桌邊，認真地沿著曲線用筆壓線，那種「一起動手做數學」的氣氛，正是 Bridges Family Day 活動的精神。 每個人都能帶回自己的 CurveBall 這項活動不需太多工具或數學背景，完成時間不長，非常適合親子共學。選好你喜歡的顏色與圖樣、摺一摺、黏一黏，一顆屬於自己的數學球體就完成了！不論你是藝術創作者還是小小科學家，都能從中發現數學與形狀的美。 最後，每位參加者都能帶著自己親手製作的 CurveBall 回家──這不只是紀念品，更是一段「讓數學觸手可及」的美好回憶。 文中提及的 CurveBalls 活動為 Bridges 2025 Family Day 一部分，若您想了解更多相關活動、工作坊與展示，歡迎造訪官方網站。

幾何編織的藝術 ── Paul Gailiunas 的 Madweave 世界 在今年於荷蘭舉辦的 Bridges 2025 數學藝術國際大會中，來自英國的藝術家兼數學家 Paul Gailiunas 帶來了他最新的創作與一場實用導向的講座，再次展現他在 Madweave 編織 技術上的深厚造詣與幾何想像力。 什麼是 Madweave？ Madweave 是一種三向交錯的籃織技術，也被稱為 Triaxial Weaving ，其特色在於材料以三種不同方向（通常呈 60 度間隔）交錯而成，形成具有高度穩定性與視覺張力的圖案結構。 當這樣的編織技術被應用在球體或多面體表面時，便出現了一種獨特的數學藝術風格：立體而對稱，圖案嵌入結構之中，色彩與拓撲共同決定最終的形貌。 2025 年展出作品：Kagome 結的進化 Gailiunas 今年的展出作品延續他對 Kagome 結構的探索。Kagome 原本是一種源自日本的網格設計，但在數學中，它可以用來構成特殊的多面體表面。 這次他採用了一種名為 triaugmented triangular prism （三角柱加上三個三角錐）的結構，作為籃織的基底，然後以三倍交錯線條進行 Madweave 編織，使整體具有強烈的旋轉對稱性與立體張力。 他強調這種結構不只是美學上的選擇，更是力學與幾何邏輯的結合。為了讓這樣的形體不扭曲、不鬆散，線條的分布與色彩的交織方式必須經過嚴謹的設計與實作。 實用美學：從數學到籃子 除了展示作品，Paul Gailiunas 今年也舉行了一場題為 “Patterns for Practical Madweave Baskets” 的講座，分享他如何將這些數學編織技術應用在日常物件上，尤其是籃子與容器的製作。 他從基本的平面三向編織開始，展示如何設計可封閉的籃形結構，如何透過顏色切割（color cuts）與對稱操作創造出有圖騰感的外觀。他指出，在設計「實用」物件時，數學不只是裝飾性的靈感來源，而是直接影響結構強度與編織路徑的核心。 結語：數學藝術的手工實踐 Paul Gailiunas 的創作提醒我們，數學不只是抽象的理論世界，它也可以透過雙手、材料與耐心被轉化為可以握在手中的物品。他的 Madwe...

Seri Nishimoto：以剪刀單元構築可變形曲面的數學藝術 在 2025 年於荷蘭舉辦的 Bridges 數學與藝術國際會議 中，來自日本的建築與數學藝術創作者 Seri Nishimoto 展出了一件極具結構創新與視覺張力的作品：「 Curved Surface by Repetition of a Single Type of Scissors （以單一剪刀單元重複構成的曲面）」。此外，她亦發表了相關論文，探討這類結構的幾何條件與設計原理。 ▍藝術作品介紹 作品名稱： Curved Surface by Repetition of a Single Type of Scissors 尺寸： 35.0 x 40.0 x 40.0 cm 材質： 聚丙烯片、黃銅鉚釘、塑膠螺絲 創作年份： 2025 剪刀單元重複拼接形成的立體曲面結構（示意圖，來源：Bridges 2025 Gallery） 這件作品是利用臂長比為 4:7 的剪刀單元（scissors unit）作為模組，重複拼接形成一個能夠變形的立體曲面。儘管這類單元在平面中拼接會導致 過度約束（overconstrained） ，理論上無法自由變形，但在使用具彈性的材料、並允許結構「脫平面」變形的條件下，整體系統可以透過 平面度量改變 實現 1 自由度（1-DOF） 的動態展開。 即便所有模組完全相同，若排列得當，整體仍可展開成非平凡的三維曲面結構。 ▍學術報告摘要 報告名稱： Transformable Surface Mechanism with Single Scissors Units 作者： Seri Nishimoto, Maya Kraft, Tomohiro Tachi 收錄於： Bridges 2025 Proceedings, pp. 535–538 本論文進一步探討：如何將相同的剪刀單元，以特定方式組成二維圖樣，使其整體可以變形成三維曲面。重點包括： 分析剪刀單元在平面上拼接時的角度變化與結構條件 提出設計原則，使結構可於不同角度開合，產生連續變...

從手工編織到綜框織機──梭織的誕生與演化 織布是一項古老的人類技術，也是人類從遊牧生活進入農耕文明後的重要轉捩點。本文將帶你從最早期的手工編織，走過立式與臥式織機的發展，進入具有劃時代意義的 綜框織機 ──也就是我們所說的 梭織（shaft weaving） 。 一、人類最早的織布方式 在織機尚未出現之前，人類早已掌握了用雙手將植物纖維或動物毛編織成繩索與布料的技術。這些最原始的編織方式，可能只需要兩根棍子和一雙巧手： 將經線（垂直線）綁在兩根木棒上。 用手將緯線（橫向線）一上一下穿過經線。 逐行交錯，慢慢形成簡單的織物。 雖然這樣的編織效率不高，但已足以製作日常生活所需的網袋、墊子與簡單布料。 二、立式與臥式織機的出現 隨著文明的發展，人們開始發明工具來提高織布效率。最早的織機可以追溯到西元前 3000 年的埃及與美索不達米亞，形式主要有兩種： 1. 立式織機（Vertical Loom） 經線由上往下垂掛，底部綁著重物維持張力。織者站在織機前方進行操作，適合織出長幅布料或掛毯。 2. 臥式織機（Horizontal Loom） 經線水平排列，織者坐在織機前操作，可用腳踏板控制結構，後來成為歐洲家庭常見的腳踏式織機原型。 無論哪種形式，這些早期織機仍依賴織者用手將緯線穿過經線開口（稱為 shed ），再壓實織口。 三、綜框技術的誕生──梭織的起點 隨著技術的進步，人們發明了一種裝置來同時提起多根經線，這就是 綜框（shaft） 的概念。 綜框是一個木框，上面掛有許多「綜眼（heddle）」，每根經線穿過其中一個綜眼的小孔。當綜框被抬起或壓下時，整組經線會一起上升或下降，產生開口讓緯線通過。 這樣的機構使織者能以腳踏控制不同綜框的組合，創造出多樣化的織紋，如平紋、斜紋與緞紋。 綜框系統使織布的效率、穩定性與花樣自由度大幅提升，成為後世 梭織 的標準基礎。 小結 從簡單的手工穿線，到利用重力與木框控制經線位置，人類在織布技術上展現了驚人的創造力與工程智慧。綜框織機不僅代表一種工藝技術，更是連結藝術、數學與社會文化的重要工具。 在下一篇...

Everything but the Bagel──一瓶就有貝果靈魂的香料 你也許吃過貝果（Bagel），但你知道什麼是 Everything Bagel 嗎？ 更有趣的是──現在你甚至不需要吃貝果，只要撒上一種神奇的香料，就能立刻品嚐那熟悉的味道。這種香料叫做 Everything but the Bagel 。 🥯「Everything Bagel」是什麼？ 「Everything Bagel」是一種口味豐富的貝果，上面灑滿了多種香料： 白芝麻（white sesame seeds） 黑芝麻（black sesame seeds） 蒜粒乾（dried minced garlic） 洋蔥乾（dried minced onion） 罌粟籽（poppy seeds） 粗鹽（kosher salt） 這是一種什麼都有一點的貝果（"everything" 意指集大成），口味濃郁，口感多層次，是許多美國人最愛的經典口味之一。 🌟「Everything but the Bagel」香料的誕生 2017年，美國連鎖超市 Trader Joe’s 把這些經典的貝果表層香料裝進一罐，推出了名為： Everything but the Bagel Sesame Seasoning Blend （所有香料都有，就是沒有貝果！） 這一罐推出後立刻大受歡迎，因為人們發現它不只能用在貝果，還能撒在任何食物上，瞬間提升層次感。 🍳 這罐香料怎麼用？ 用途超級廣泛，幾乎萬用──只要你覺得這道菜可以接受鹹香與芝麻洋蔥蒜香的混合，就可以嘗試： 酪梨吐司（Avocado toast） 炒蛋、煎蛋 希臘優格或酸奶沾醬 奶油乳酪抹麵包 烤蔬菜、炒飯 爆米花 沙拉或烤雞肉表面 🧂怎麼自己做？ 自己混也很簡單，這是一個基本版本： 白芝麻 1 湯匙 黑芝麻 1 湯匙 罌粟籽 1 湯匙 乾蒜粒 1 湯匙 乾洋蔥粒 1 湯匙 粗鹽 1/2 湯匙 ...

Silly Walks Tunnel：愛因荷芬最荒謬也最有趣的地下道 在荷蘭的愛因荷芬（Eindhoven），有一條看似平凡的行人與自行車隧道，卻因為一整面滿是誇張走路姿勢的壁畫，而成了遊人與在地人最愛的拍照景點──這就是被暱稱為「 Silly Walks Tunnel 」的 Dommeltunnel 。 🕴 荒謬由來：致敬 Monty Python 的經典喜劇 這條隧道的靈感來自英國荒謬喜劇團體 Monty Python 所創作的經典片段「 The Ministry of Silly Walks 」（荒謬步態部），主角 John Cleese 穿著西裝、打著領帶，以極度誇張的走法在城市中「巡邏」，模仿日常官僚制度的荒謬。 而 Eindhoven 的 Silly Walks Tunnel，則是以這個片段為主題的大型公共藝術裝置。隧道內兩側牆面繪滿穿西裝、戴圓頂帽、提公事包的剪影人物，每個都以不同的荒謬姿勢抬腿、扭腰、旋轉，像是定格的動作序列，邀請行人也跟著「走出自己的 Silly Walk」。 🎨 公共藝術計畫：讓通勤不再無趣 Silly Walks Tunnel 是由藝術家組合 Studio Giftig （Niels van Swaemen 與 Kaspar van Leek）於 2016 年完成的作品。這段長約 130 公尺的隧道連接 Fuutlaan 與 Professor Doctor Dorgelolaan，是愛因荷芬火車站與 TU/E（愛因荷芬科技大學）之間重要的通勤路線。 藝術家們希望將日常通勤的「單調與灰色」打破，讓這段地下道變成城市裡的驚喜。據說， John Cleese 本人 也曾親臨現場開幕，甚至在牆上簽名，幽默地說：「 I never knew how silly you are! 」 🤪 遊玩攻略：一起荒謬走路吧！ 如果你來到愛因荷芬，尤其是在 TU/E 校園附近，不妨親身造訪這條隧道。你可以： 📸 拍照留念 ：模仿牆上的誇張走法（高抬腿、弓背、側跳）來張荒謬合照。 🚲 騎車滑行 ：即使只是經過，也能感受到滿滿幽默氣息。 🎬 拍個短片 ：用慢動作或快轉效果，來一段屬於自己的 “Mini...

Geldrop 織機博物館的時光之旅 在荷蘭南部的 Brabant 省，有一座隱藏在住宅區中的寶藏博物館—— Weverijmuseum Geldrop 。它曾經是 20 世紀初活躍的工業小鎮，如今成為見證布料工藝演進的歷史基地。 從原料開始的紡織故事 導覽從最基本的原材料開始： 羊毛、棉花與亞麻 。你可以親手摸到未加工的羊毛球，也能看到不同植物纖維的處理方式。志工還展示了如何將這些纖維捻成線，透過手搖紡車與古老的機械進行初步加工。 機器的演進：百年老機器與現代紡織技術並存 博物館內部保存了大量仍然可運作的織機，有些已有超過 100 年歷史，仍使用皮帶與飛梭運作。志工會現場操作這些織機，展示經緯交織的過程，彷彿讓人走進過去的織布工廠。 令人驚喜的是，這裡還展示了幾台 自動化針織襪機、鞋帶製造機 ，展示如何從簡單的織法發展到複雜的工業自動化。 鐵路也需要羊毛？──Smeerkussen 的故事 導覽最令人印象深刻的一幕，是一台專門為荷蘭鐵路製作「 Smeerkussen 」（吸油羊毛墊）的百年機器。這些羊毛墊被放置在鐵軌與車輪之間， 吸收潤滑油、減少摩擦 。這種技術已有百年歷史，但據說現今僅剩這間博物館仍在生產，成為活的文化遺產。 「這不是為了展示，而是真正持續為鐵道系統提供部件。」志工驕傲地說。 經驗傳承：前織工與志工的互動導覽 本次參觀的最大亮點之一，就是由經驗豐富的 退休織工與志工 進行導覽。他們不僅熟知每一台機器的運作，更能生動講述這些技術與當地社區生活的連結。透過他們的介紹，我們了解了一段布料不僅僅是時尚或裝飾品，而是深入工業與生活的故事。 結語：從工業記憶到創新靈感 Geldrop 的織機博物館不只讓人回顧工業歷史，更鼓勵我們重新思考人與機器的互動關係。從原材料的觸感到機器的節奏，再到鐵路上的羊毛墊，每一步都交織著工藝、科學與社會的歷史。 如果你也對布料、工藝或機械有興趣，這裡絕對值得親自一訪。 📍 Weverijmuseum Geldrop Molenstraat 21, Geldrop, The Netherlands 開放時間與導覽資訊請見： 官方網站

吃馬鈴薯的人──從油畫到體驗式模擬 1885 年，尚未成名的 Vincent van Gogh 在荷蘭努南完成了他自認生涯最重要的早期作品：《吃馬鈴薯的人》（ The Potato Eaters ）。這是一幅描繪勞動家庭晚餐場景的油畫，五位農民圍坐在昏黃燈光下，一同分享餐桌上簡單的馬鈴薯。Van Gogh 並未刻意美化人物，而是強調他們粗糙的臉龐與雙手，讓這幅畫成為勞動尊嚴與貧苦生活的寫照。 模擬光影氛圍的重建版本，保留原始角度，加入油畫風格處理。 從油畫到沉浸體驗──Van Gogh Village Museum 的互動裝置 在荷蘭努南的 Van Gogh Village Museum ，我們親身體驗了這幅畫的沉浸式重建裝置。展區中設置了完整的「馬鈴薯晚餐」場景：木桌、油燈、茶壺、餐盤，以及五個空位讓觀眾「入畫」。我們四人坐定位後，由一位遊客幫忙拍照──但遺憾的是，他選擇了正面拍攝角度，與原畫偏左斜視的構圖有些出入。 我們的原始合照，因拍攝角度錯位，失去了一些畫面氛圍。 不過這也提供了一個挑戰：如果我們試著從光學與透視的角度，重建原畫的視覺效果，會是什麼模樣？這促成了下圖的創作實驗。 模擬從偏左視角觀察，加入透視修正與吊燈光暈的重建圖像。 光影與透視──從畫布到鏡頭的誤差 Van Gogh 在這幅畫中刻意使用偏斜的透視與強烈的明暗對比，營造出陰鬱卻真實的空間感。從光學上來看，原畫的光源是畫面中央上方的煤油吊燈，它照亮了桌面與人物的臉龐，但背景則隱入黑暗中，牆面與門窗細節極少。這種「單光源－低補光」的佈光方式，也使得人物的側臉與手勢特別有戲劇性。 而現代攝影機在拍攝時自動調節曝光，使牆壁與窗戶過亮，吊燈也不再成為畫面焦點。這些差異並非單純構圖問題，更涉及攝影技術與油畫媒材的根本差異。 Van Gogh 的精神──學著去做你還不會做的事 "I am always doing what I cannot do yet, in order to learn how to do it." ── Vincent van Gogh 這句話來自 Van Gogh 在努南時期的書信。當時的他正努力掌握人體素描與複雜的室內場景安排，不斷在失敗中學...

Evoluon──飛碟狀的科技未來館 在荷蘭艾恩霍芬（Eindhoven）的天際線上，有一座宛如從科幻電影中飛來的建築── Evoluon 。它像是一艘降落在人間的銀色飛碟，提醒著我們：科技不只是工程的成果，也是一種未來想像。 Philips 的科技願景 這座建築由荷蘭電子巨擘 Philips 公司於 1966 年建立，原本是一座科技博物館，目的是向社會大眾展示當代最尖端的技術──從無線電與電視，到照明與醫療科技。Evoluon 不只是一個展示空間，它象徵著一個時代的科技樂觀主義。 像 UFO 的建築 Evoluon 最吸睛的地方在於它的造型。圓形屋頂橫跨 77 公尺，以懸臂結構撐起，看起來就像漂浮在空中的飛碟。這個設計由 Philips 自家設計總監 Louis Kalff 與建築師 Leo de Bever 共同完成，體現 1960 年代對「未來」的空間想像。 從博物館到跨界平台 雖然原始的科技展示在 1989 年關閉，但 Evoluon 並未就此沉寂。經歷一段會展與活動中心的轉型期後，它在 2020 年代重新定位為一座聚焦於未來科技、藝術與社會議題的展覽平台。 如今，Evoluon 不僅與 Dutch Design Week 合作，也常舉辦關於氣候變遷、AI、科技倫理與未來城市的展覽。它的飛碟造型成為思索未來的象徵性空間。 科技與人文的交會點 Evoluon 提醒我們：科技不只是工程師與科學家的事，它與我們每個人的生活、價值、未來選擇息息相關。從1960年代的展示未來，到今日的反思未來，Evoluon 經歷了從單向傳遞知識到雙向對話的轉變。 延伸閱讀 Evoluon 官方網站 Evoluon 維基百科條目 Next Nature x Evoluon（策展內容） 撰文：Bih-Yaw Jin 2025年7月

我擁有一個 genus = 2 的拓撲曲面！──來自 Eve Torrence 的數學禮物 在 Bridges 2025 數學藝術大會期間，我有幸收到數學藝術家 Eve Torrence 贈送的一件手工拓撲作品。這件作品是一個由毛線與釣魚線鉤織而成的曲面，其拓撲特徵為 genus = 2 ，並帶有 兩個邊界 （twice-punctured）。 由 Eve Torrence 手工鉤織的 genus = 2 拓撲曲面 這是什麼樣的數學對象？ 這個表面是一個「有兩個孔洞的環面」，在拓撲學中稱為 genus = 2 的可定向曲面。想像一下甜甜圈，但不只有一個洞，而是兩個洞貫穿其中，並且表面上開了兩個小孔（也就是兩個邊界）。 更有趣的是，這件作品的邊界構成了一個稱為 Whitehead link 的拓撲連結圖形──兩個無結環彼此交錯纏繞兩次。Eve 的作品之一《 Seven Linked Surfaces 》便是以相同的邊界為起點，構造出七個不同拓撲類型的曲面，而我收到的這一個，便是其中一個 genus = 2 的例子。 關於這位藝術家 Eve Torrence 是來自美國維吉尼亞州 Randolph-Macon College 的數學教授，也是結合幾何與手工藝的藝術家。她擅長以毛線、紙張、泡棉等日常材料創作拓撲雕塑，將抽象的數學轉化為可觸摸、可分享的具體物件。 她的創作理念是讓數學變得「親手可及」，並藉由實體作品，邀請更多人一同探索數學的結構與美感。 這件作品的意義 這是一件 可定向的 genus = 2 曲面 ，拓撲上與兩個環面黏合在一起相當。 它有 兩個邊界 ，與 Whitehead link 的纏繞結構相容。 完全手工製作，兼具藝術與數學教育價值。 我很珍惜這份來自 Eve 的禮物，也希望未來能在工作坊或教學中，讓更多人親手接觸這樣的數學對象。畢竟，在毛線中探索 genus 的經驗，可比教科書有趣得多了！ — 撰於 2025 年夏，Bridges 之後

視錯覺的八面遊戲──Paunović 的立體變形藝術 在 2025 年的 Bridges 數學與藝術年會 中，藝術家兼研究者 Marijana Paunović 以遠端 Zoom 方式參與會議，介紹了她的作品〈 Optical 3D Anamorphosis in the System of Tetrahedron and Stellated Octahedron 〉。雖然她本人並未到場，但她提出的創作理念卻讓現場與線上聽眾印象深刻。 什麼是 3D Optical Anamorphosis？ Anamorphosis（變形透視）是一種歷史悠久的視覺錯覺技術，讓圖像從特定角度才能被正確「閱讀」，而從其他角度看則只是支離破碎的圖形。Paunović 把這種原本多見於平面的錯視藝術轉化為三維立體形式，並選用數學上具有高度對稱性的幾何體： 正四面體 與 星形八面體（stellated octahedron） 作為圖像投影的載體。 星形八面體的結構秘密 星形八面體乍看之下有 8 個三角形面 ，似乎代表可以從 8 個角度觀看不同圖像。現場有位聽眾甚至提出：「既然有 8 面，是否可以設計 8 張圖像？」但事實上，這個幾何結構的真正秘密藏在「 法線方向 」上。 星形八面體其實是由兩個正四面體互相交疊構成，其 8 個三角面彼此成對共面，總共只有 4 個獨立的法線方向 。這意味著：若每個圖像都仰賴從某一特定方向觀察，讓所有視線與面法線對齊，則最多只能設計 4 張彼此獨立、互不干擾的圖像 。 星形八面體結構示意圖（圖源：Wikimedia Commons） 從幾何出發的視覺魔法 Paunović 的作品是一種用紙構成的 3D 裝置藝術，從不同角度觀看會看到不同圖像浮現。她以精密的幾何計算與投影技術，將圖像「分散」到幾何結構的不同三角面上，使得這些碎片能在特定方向下「重組」為完整圖像。這種技術不僅挑戰了觀眾的視覺理解，也展現了數學對稱性與錯視美感的深度結合。 圖像數量與幾何結構的關係 一個常見誤解是： 面越多，就能顯示越多張圖像 。實際上，在光學變形藝術中，更重要的是「觀察方向的獨立性」。以下是幾...

從結構錯覺看見真實──Anton Bakker 與 Tom Verhoeff 的 3D 格點藝術 我們每天所見的三維世界，其實是「投影」在我們視網膜上的二維圖像。這種投影視角的限制，為藝術家與數學家帶來一個充滿挑戰與驚喜的創作空間：如何構造一個三維結構，使其在某些角度看來像打結，實際上卻是錯覺？這正是 Anton Bakker 與 Tom Verhoeff 在 Bridges 2025 發表的研究主題之一。 錯覺之結：3D 格點中的視覺遊戲 這兩位來自不同領域的創作者共同設計出一系列在 三維格點空間（3D lattice paths） 中的「錯視結構」，即看起來像打結的線條路徑，其實只是從特定角度造成的錯覺。這類作品令人聯想到柏格森（Borges）或艾雪（Escher）式的空間扭曲，也具有拓撲學與數學美學的深層結構。 「我使用自訂的科技工具，在空間中連接點與點，創造出曲線或折線的路徑。這些路徑並非隨意，而是來自自然原型中的模式。」 ──Anton Bakker 從數學出發：Tom Verhoeff 的視角 Tom Verhoeff 是荷蘭 Eindhoven 理工大學的電腦科學副教授，同時也是著名的數學藝術家。他長期關注離散結構與視覺認知的交集，並與 Anton Bakker 一同開發一系列計算工具，用以搜尋與設計符合特定錯視條件的 3D 格點路徑。 在他們的創作中，每一步的格點路徑只能沿 ±x, ±y, ±z 軸方向延伸，這種限制反而增添了數學探索的樂趣。他們特別關注「從某角度看起來像結」但從其他角度卻明顯非結的結構——這種矛盾，是最具藝術張力的錯覺來源。 錯視的啟示：從視角到真實 錯覺藝術之所以迷人，在於它提出了哲學性的反思： 你所見即為真實嗎？ 當我們從單一視角觀察世界時，是否忽略了其他可能的理解？Bakker 將這樣的觀點延伸至人生各面向，而這些作品也像是一種視覺的禪宗公案，提醒我們不要被表象所迷惑。 「使用科技來探索原子格點中的微觀結構，我希望觀者透過多角度的觀看旅程，發現潛藏於秩序中的美。」 ──Anton Bakker 藝術家的背景 Anton Bakker 雕塑家，現居美國維吉尼亞州。曾長期與已故數學藝術家 Ko...

看得見的地圖染色定理──Timothy Sun 的數學藝術探索 在數學中，「地圖染色問題」是一個經典而深奧的主題：如何使用最少數目的顏色，讓地圖上的相鄰區塊不會出現同色？最著名的就是「四色定理」，它保證任何平面地圖都可以用四種顏色解決這個問題。 不過，當我們把這個問題推廣到更複雜的表面──例如甜甜圈、雙甜甜圈，甚至有六個洞的曲面時，所需的顏色數會大幅增加，整體結構也變得難以想像。而美國舊金山州立大學電腦科學系助理教授 Timothy Sun 就試圖讓這些抽象結構「看得見、摸得到」。 從理論到立體──pillowcase 模型與 3D 打印 在他發表於 Bridges 2025 的論文〈Visualizing and 3D Printing Colorful Maps on Surfaces〉中，Sun 描述了一種轉化技術：透過一種稱為「 pillowcase 模型 」的平面展開圖，把高 genus 曲面的染色地圖攤平，形成可以 3D 打印的幾何圖案。 雖然 3D 印表機通常只能輸出單一顏色的材料，Sun 的解法是將每個色區獨立打印，再手工拼裝，形成真正的多色地圖結構。這樣不僅還原了數學定理的內涵，也帶來了強烈的視覺與藝術張力。 Youngs’s Disk──來自1963年的數學構造，2025年的藝術實現 Sun 在本屆 Bridges 展覽中展出的一件代表作品是〈 Youngs’s Disk 〉。這件作品的數學背景來自 J. W. T. Youngs 在 1963 年的研究成果：他在 genus 6（六洞）可定向曲面上構造出一張具有完整對稱性的「鄰接地圖」，其中有 12 個國家，每個國家都與其他 11 個相鄰。 這樣的地圖無法用少於 12 種顏色完成著色，因此成為「地圖染色理論」的極端例子。Timothy Sun 利用幾何演算法與部分自動化設計流程，找出該圖的幾何實現，同時保留其完整的二面體對稱。最終，他使用 PLA 與 PETG 材料分別列印出每一國區塊，手工組裝成一件色彩鮮明、邏輯嚴謹的藝術作品。 數學家的雕塑家靈魂 Timothy Sun 表示：「我的...

從塵埃到黑洞──當數學遇上全息影像 ——記 Bridges 2025 論文報告： Visualizing Black Holes and Gravitational Collapse with Digital Holography 文／Bih-Yaw Jin（國立台灣大學化學系） 📍 臨場印象：來自台北的驚喜 Bridges 2025 的第三天上午，一場出人意料精彩的演講讓我留下深刻印象── Visualizing Black Holes and Gravitational Collapse with Digital Holography 。講者 Robert L. Hocking 以冷靜自信的語氣，展示了一個極為困難的視覺化目標：不僅是靜態黑洞的三維重建，還包含塵埃球逐步塌縮形成黑洞的動態過程。 最令我震撼的是──他來自台灣台北。身為同樣來自台大醉月湖畔的研究者，我起初完全沒想到： 這樣一個令人屏息的全息黑洞影像，是從我每天走過的校園邊誕生的。 🎯 問題意識：怎麼「看見」黑洞？ 黑洞，是廣義相對論預言的極端空間彎曲區域。由於連光都無法逃脫，黑洞本身無法「被看見」，我們能觀測到的，是它對光線與空間的 扭曲作用 。傳統上，這種視覺化依靠 ray tracing（光線追蹤）與高階渲染技術，但始終侷限於 平面螢幕 。 而 Hocking 的團隊採取了不同策略：運用 數位全息影像（digital holography） ，來 重建黑洞的三維光場 ，讓觀眾得以從不同角度真實觀看視野扭曲、事件視界的邊界，甚至觀察黑洞如何誕生。 🧠 數學與物理基礎 靜態黑洞： 採用 Schwarzschild 解，對球對稱時空的光線路徑進行模擬，重建重力透鏡效應。 動態塌縮： 根據 Oppenheimer–Snyder 模型，模擬球形塵團在重力作用下塌縮並形成事件視界的過程。 這些模型雖為理論物理中的經典解，但從未以 全息三維動態影像 的方式呈現──Hocking 的工作可說是首創。 🖼️ 技術創新：從數學到全息 傳統動畫是「看起來像三維」的投影，而 數位全息圖 則是透過干涉與繞射的方式， 直接重建光場 ，使影像能隨觀察角度變化而變形。 「當你走到 hologram 左側，黑洞也...

六種正則肥皂泡──Heikki Simola 與柏拉圖泡泡的幾何藝術 在芬蘭的藝術與科學交界處，一位退休的環境科學家正以木材與紙張，重新演繹自然界中最優雅的幾何結構。他就是 Heikki Simola ，一位熱愛數學形狀、最小曲面與拓撲美學的創作者。 「我創作的重點是展現數學形狀的美感，例如拓撲結構、最小曲面與幾何形式。我主要以木雕與紙雕製作藝術品，揭示數學的優雅。」 ——Heikki Simola 肥皂泡的幾何美感：Joseph Plateau 的法則 肥皂泡不是任意膨脹的泡沫，而是順從自然的幾何與物理法則。早在 1873 年，比利時物理學家 Joseph Plateau 就提出了著名的泡膜定律： 肥皂膜是最小曲面，即在固定邊界下表面積最小。 三片膜總以 120° 相交，形成邊（Plateau border）。 四條邊以約 109.47° 相會於節點，形成四面體對稱。 這些定律主導著泡泡的穩定結構，並構成了一種物理上的「最小能量幾何」。Simola 問了一個極具魅力的問題： 有哪些「正則形狀」可以作為穩定的肥皂泡結構，同時擁有柏拉圖立體的對稱性，又符合 Plateau 的泡膜法則？ 六種正則肥皂泡（Six Platonic Bubbles） 在 2025 年的創作中，Simola 精心製作了一系列六件木雕作品，命名為《 Six Platonic Bubbles 》。這些雕塑展示了六種符合 Plateau 法則的「正則肥皂泡形狀」，並構成某種平行於柏拉圖立體的幾何系列。 這些形狀並不完全等同於經典的五種柏拉圖立體（正四面體、立方體、正八面體、正十二面體、正二十面體），因為肥皂泡的膜面不會是硬邊直角，而是經過曲率調整、角度達成力學平衡的彎曲面。 但它們仍保留了 高度對稱的結構本質 ，並根據泡泡自然形成的規律，在藝術與數學之間找到一條令人驚豔的中介線索。 藝術、科學與未竟的幾何分類 Simola 指出，這一系列六種正則肥皂泡， 在傳統的泡泡文獻中其實未被系統性討論 ，這讓他的創作不只是藝術再現，更像是一次微型的幾何分類工作。他讓我們意識到，柏拉圖立體之外，還有一個由泡膜物理學構成的「對稱宇宙」。 延伸閱讀與欣賞 📄 Bridge...

黑洞、兔子與光錐──Steve Trettel 的視覺重力透鏡 作者： Steve Trettel 發表： Bridges 2025: Mathematics and the Arts 主題： 以古典光學模擬多個極限帶電黑洞的相對論幾何，並用 ray tracing 精確描繪視覺效果。 從光錐說起：你什麼時候看到兔子？ 在 Steve Trettel 精彩的 Bridges 報告中，他從相對論裡最基本的幾何概念—— 光錐（light cone） 開場。這是一個描述「什麼事件可能發生在你眼中」的幾何工具。 他舉了一個生動的例子： 一個人牽著他的兔子在太空中行走。 由於兔子可能跳動、繞圈，牠在時空中的軌跡（worldline）也彎曲；而這個人看到的兔子樣貌，取決於光線如何穿越彎曲時空、沿著光錐的界線傳到他眼中。 在彎曲的時空中，尤其是黑洞附近，兔子的影像可能變形、重影，甚至出現多次。 黑洞讓兔子出現幾次？ 接下來，Trettel 展示了當兔子靠近 極限帶電黑洞（extremal charged black hole） 時，光線如何被吸引與偏折，形成一系列複雜的光學現象。 他用 ray tracing 技術模擬出觀察者眼中的畫面：兔子出現兩次、三次、甚至五次，每個影像都對應著不同的光線繞行方式，形成令人驚艷的空間錯覺與變形結構。 「你看到的兔子，不是牠現在的模樣，而是光線在多個彎曲時空路徑中被抓住，繞了一圈又一圈。」──Steve Trettel Einstein caustics：黑洞光學的新藝術 更令人驚奇的是，他分析了這些影像背後的結構——當光線在黑洞重力場中聚焦形成亮紋與交錯曲面時，會產生一種稱為 caustics（焦散） 的幾何結構，這在古典光學中常見於水面波紋或玻璃折射。 Trettel 將這些由黑洞產生的複雜 caustic 結構命名為 「Einstein caustics」 ，用以致敬廣義相對論。他展示的模擬結果，彷彿宇宙版的焦散光紋，在空間中畫出扭曲的光學雕塑。 ...

紙帶摺出的準晶體球──從對稱到非週期的數學藝術 文 / ChatGPT 根據 Claire Djang 的 Bridges 2025 發表整理 在 2025 年的數學與藝術國際會議 Bridges 中，藝術家兼研究者 Claire Djang 發表了一項極具啟發性的創作：她利用紙帶摺疊與模組組裝的技術，構築出兩顆極富數學結構的紙球──它們看似輕盈，卻蘊含著深奧的幾何與準晶體理論。 什麼是準晶體？ 準晶體（quasicrystals）是一種介於有序與無序之間的奇特結構。它們在空間中具備長程有序（long-range order），卻又無法像一般晶體一樣透過平移對稱來重複自己。 最著名的例子是 Penrose 鋪排 ，使用兩種不同形狀的菱形就能鋪滿整個平面，卻不會出現週期性的重複。這種特性挑戰了人們對「對稱」與「秩序」的傳統定義。 摺紙如何建構準晶體？ Claire Djang 的研究著眼於三維空間中準晶體的幾何結構，並透過一套創新的摺紙系統，實作出球形準晶體模型。她的方法很簡潔卻非常巧妙： 使用 黃金菱形（golden rhombi） 作為基礎模組。 將這些菱形排成紙帶，在指定位置預設 山摺與谷摺 。 將六條紙帶各自摺成封閉環狀，並以膠帶連結，使之在空間中交錯重疊、互相支撐。 每條紙帶都可以看作是一條「摺疊的螺旋路徑」，最終在球形表面形成複雜而穩定的結構。當不同紙帶的摺痕位置一致時，彼此的強度會互補並加強，整體結構因此變得剛固。 對稱 vs. 非對稱：兩種紙球的藝術呈現 Symmetric Quasicrystal Paper Sphere 這顆作品選擇了六條完全相同的摺紙帶，呈現出典型的 二十面體對稱性（icosahedral symmetry） 。整體看起來均勻、和諧，視覺上如一顆晶瑩剔透的結晶體。 這件作品不僅是對幾何對稱的頌歌，更可視為一種「可摺紙化的準晶模型」。其非凸外形與向量加疊結構使它與 zonohedra 幾何體密切相關。 Asymmetric Aperiodic Paper Sphere 與對稱球相比，這顆球採用了六條「不相同」的紙帶──每條帶的摺痕模式各異。這使得最終成品呈現出 無對稱性（asymmetry） ，並且不再擁有明確...

George I. Bell：以立方體為語言的數學拼圖藝術 文／ChatGPT 整理 ｜ 依據 Bridges 2025 論文與藝術展出內容 在《Bridges 2025: Mathematics and the Arts》大會中，來自美國科羅拉多州的拼圖設計師 George I. Bell 同時發表了一篇學術論文〈 Cube Compound Puzzles 〉與兩件極具數學美感的立體拼圖作品。他將幾何、對稱與空間邏輯轉化為可以親手組裝的藝術體驗，展現了結構與創造力之間的精妙平衡。 📐 論文主題：Compound of Cubes 作為拼圖的可能性 Bell 在他的論文中探討了 cube compound 的設計與拆解方法──這是一種由 多個同心立方體交錯組合 而成的非凸幾何體。這些複合立方體擁有高度對稱性，視覺上極具衝擊力。 他特別分析了 2 至 5 個立方體的複合體 ，並提出可拆解為少數幾塊的方式，使這些形狀變成可組裝的空間拼圖（interlocking puzzles）。設計時，他必須： 考慮結構的對稱性 確保組件能彼此嵌合且不自鎖 保持挑戰性與可解性之間的平衡 「將複雜的形狀分解為幾個可以互相嵌合的拼圖塊，常常會讓我在設計過程中發現幾何的全新理解。」— George I. Bell 🎨 展出作品一：Compound of Five Cubes Puzzle 這件作品靈感來自木工拼圖大師 Wayne Daniel 的模型，但 Bell 使用塑膠（PLA）重新設計，並運用 3D 列印製作，使拼圖更容易量產與展示。 由五個交錯的立方體構成 共可拆解為 10 個形狀相同但顏色不同 的組件 組裝時需要 高階空間感與辨識力 成品尺寸為 15 x 30 x 15 公分 ，彷彿一個對稱精準的立體迷宮，每一片拼圖都在空間中有其獨立角色與交錯定位。 🧩 展出作品二：Compound of Four Cubes Puzzle 這是一個完全不同的設計。Bell 使用四塊 完全相同的零件 構成整體，並選擇了一個具有 八面體對稱性（octahedral symmetry） 的 polyhedron，也被稱為 Bakos' Solid ...

數學之美的指尖演繹──Jürgen Richter-Gebert 與 iOrnament 的視覺幾何革命 Jürgen Richter-Gebert 是慕尼黑工業大學（TUM）的幾何學教授，也是一位跨越數學、藝術與教育的視覺設計先鋒。他最為人熟知的作品之一，便是觸控式對稱繪圖應用程式 iOrnament 。這款看似簡單的 app，實則結合了深奧的數學結構、即時幾何演算法與創意美學設計，引領使用者進入對稱世界的無窮變幻。 誕生：從幾何軟體到指尖藝術 iOrnament 的誕生可追溯到 Richter-Gebert 長期投入的互動數學教育計畫。早在 1990 年代，他已與 Ulrich Kortenkamp 合作開發動態幾何軟體 Cinderella ，並對對稱圖樣的數學結構有深厚研究。 在智慧型手機與平板普及後，他開始思考：是否能設計出一款讓任何人都能「用手指畫出數學」的 app？這樣的理念，催生了 iOrnament ──一款將平面對稱群（wallpaper groups）實作於互動繪圖之中的藝術數學工具。 從平面到球面與雙曲空間 iOrnament 最初支援的是 17 種歐幾里得平面對稱群。使用者只需用手指在畫面上畫一筆，系統即時生成對應對稱操作下的整個圖樣。 但它的野心不止於此。隨著開發進展， iOrnament 陸續新增了球面（spherical）與雙曲面（hyperbolic）的對稱繪圖模組： 球面模式： 將繪圖包覆在球面之上，讓使用者能創作具有地球般曲率的對稱圖樣。這不僅是視覺的挑戰，更帶來拓撲與幾何的直觀理解。 雙曲面模式： 引入龐加萊圓盤模型，呈現非歐幾里得幾何中的無限對稱性與尺度變化。這是許多藝術家首次能以簡單操作觸碰雙曲空間的美學。 Glittering 效果：在數學中追逐光影 最新版本的 iOrnament 引入了一項視覺突破： glittering（閃耀）效果 模擬。這項功能能根據圖樣中的對稱方向與筆觸角度，自動產生如金屬閃光般的動態反射效果。這種特效不僅美觀，實際上也以極高精度反映了圖樣的對稱性與局部結構。 這種效果帶來極強的沉浸感，讓使用者在畫圖的過程中，真切地感受到數學中的秩序、張力與動態節奏。 意料之外的藝術發現 ...

從織帶到曲面：Alison Martin 在 Bridges 2025 的幾何結構之旅 在 2025 年的 Bridges 數學與藝術大會上， Alison Martin 發表了一場令人驚豔的大會報告，展現她與研究團隊多年來對「編織幾何結構」的深入探索。這場報告不倚賴公式與數學模型推導，而是透過大量實作成果與視覺展示，讓觀眾親眼見證一張張平面紙帶如何交錯、彎曲、張力互補，最後編織出令人難以置信的三維曲面。 這是一場結合材料、拓撲、空間感與藝術直覺的報告，講述的是幾何如何被「建構」、如何「展開」、如何「活起來」。 📐 雙軸與三軸編織：從平面到空間 Martin 的研究核心是雙軸與三軸編織（ biaxial/triaxial weaving ），即透過兩組或三組帶狀材料（如紙帶、竹篾、塑條）交錯構成規律網格。這些網格可以在幾何配置與材料張力的作用下，轉化為具有空間曲率的結構。 她將各種曲面分為三類： 正曲率曲面： 球殼、圓頂等向內包覆的形狀。 負曲率曲面： 鞍面、雙曲拋物面、最小曲面（如 P-surface、G-surface）。 可展開結構： 從平面壓縮狀態展開為立體結構，並可逆回收。 🧵 材料的幾何語法 報告中特別強調，材料的性質與幾何行為密不可分。從紙帶、竹篾到複合材料，每種材料的彎曲性、厚度與摩擦性都影響整體結構的變形與穩定。 在負曲率曲面建構中，三軸編織因為其多方向張力平衡特性，能更自然產生鞍狀結構，並展現高度的幾何可預測性。 「幾何不是形狀的結果，而是材料、張力、交錯角度之間的語言互動。」 🔁 Deployable 結構的動態奇觀 報告中最引人注目的，是多種雙軸 deployable 結構的展示。這些結構可由壓縮狀態一拉即展，形成完整的曲面結構，部分甚至具有高 genus（如雙環面）拓撲。 無需鉸鏈或接縫，純幾何設計達成變形。 變形可逆、連續，不需外部機械。 可應用於裝置藝術、臨時建築與數學教育。 這些結構讓人看見，幾何不是靜態造型，而是一種「會動的語法」。 📚 背後的三篇核心研究 ...