看得見的地圖染色定理──Timothy Sun 的數學藝術探索

在數學中，「地圖染色問題」是一個經典而深奧的主題：如何使用最少數目的顏色，讓地圖上的相鄰區塊不會出現同色？最著名的就是「四色定理」，它保證任何平面地圖都可以用四種顏色解決這個問題。

不過，當我們把這個問題推廣到更複雜的表面──例如甜甜圈、雙甜甜圈，甚至有六個洞的曲面時，所需的顏色數會大幅增加，整體結構也變得難以想像。而美國舊金山州立大學電腦科學系助理教授 Timothy Sun 就試圖讓這些抽象結構「看得見、摸得到」。

從理論到立體──pillowcase 模型與 3D 打印

在他發表於 Bridges 2025 的論文〈Visualizing and 3D Printing Colorful Maps on Surfaces〉中，Sun 描述了一種轉化技術：透過一種稱為「pillowcase 模型」的平面展開圖，把高 genus 曲面的染色地圖攤平，形成可以 3D 打印的幾何圖案。

雖然 3D 印表機通常只能輸出單一顏色的材料，Sun 的解法是將每個色區獨立打印，再手工拼裝，形成真正的多色地圖結構。這樣不僅還原了數學定理的內涵，也帶來了強烈的視覺與藝術張力。

Youngs’s Disk──來自1963年的數學構造，2025年的藝術實現

Sun 在本屆 Bridges 展覽中展出的一件代表作品是〈Youngs’s Disk〉。這件作品的數學背景來自 J. W. T. Youngs 在 1963 年的研究成果：他在 genus 6（六洞）可定向曲面上構造出一張具有完整對稱性的「鄰接地圖」，其中有 12 個國家，每個國家都與其他 11 個相鄰。

這樣的地圖無法用少於 12 種顏色完成著色，因此成為「地圖染色理論」的極端例子。Timothy Sun 利用幾何演算法與部分自動化設計流程，找出該圖的幾何實現，同時保留其完整的二面體對稱。最終，他使用 PLA 與 PETG 材料分別列印出每一國區塊，手工組裝成一件色彩鮮明、邏輯嚴謹的藝術作品。

數學家的雕塑家靈魂

Timothy Sun 表示：「我的藝術創作旨在透過 3D 列印雕塑，展現我所研究的拓撲圖論成果。」這些作品不只是數學圖形的裝飾，而是真正體現數學結構的三維詮釋。無論是甜甜圈上的彩色地圖，還是六洞曲面上的全鄰接構造，這些雕塑都讓抽象的數學結果成為有形的知識資產。

當我們走近這些作品，看到每個色塊精準拼接、每個邊界精巧吻合時，不只是欣賞一件設計作品，更是在觸摸一個來自數學定理的世界。

進一步認識 Timothy Sun

• 姓名：Timothy Sun
• 職稱：助理教授，舊金山州立大學電腦科學系
• 研究領域：拓撲圖論、圖的嵌入、可視化方法
• 個人網站：timothysun.info
• 電子郵件：timothysun@sfsu.edu

在數學與藝術之間，有時只差一個轉譯者。Timothy Sun 正是這樣的橋梁，把圖論與曲面的世界，透過視覺與形體，帶到我們眼前。