從結構錯覺看見真實──Anton Bakker 與 Tom Verhoeff 的 3D 格點藝術
我們每天所見的三維世界，其實是「投影」在我們視網膜上的二維圖像。這種投影視角的限制，為藝術家與數學家帶來一個充滿挑戰與驚喜的創作空間：如何構造一個三維結構，使其在某些角度看來像打結，實際上卻是錯覺？這正是 Anton Bakker 與 Tom Verhoeff 在 Bridges 2025 發表的研究主題之一。
錯覺之結：3D 格點中的視覺遊戲
這兩位來自不同領域的創作者共同設計出一系列在三維格點空間（3D lattice paths）中的「錯視結構」，即看起來像打結的線條路徑，其實只是從特定角度造成的錯覺。這類作品令人聯想到柏格森（Borges）或艾雪（Escher）式的空間扭曲，也具有拓撲學與數學美學的深層結構。
「我使用自訂的科技工具，在空間中連接點與點，創造出曲線或折線的路徑。這些路徑並非隨意，而是來自自然原型中的模式。」
──Anton Bakker
從數學出發：Tom Verhoeff 的視角
Tom Verhoeff 是荷蘭 Eindhoven 理工大學的電腦科學副教授，同時也是著名的數學藝術家。他長期關注離散結構與視覺認知的交集，並與 Anton Bakker 一同開發一系列計算工具，用以搜尋與設計符合特定錯視條件的 3D 格點路徑。
在他們的創作中，每一步的格點路徑只能沿 ±x, ±y, ±z 軸方向延伸，這種限制反而增添了數學探索的樂趣。他們特別關注「從某角度看起來像結」但從其他角度卻明顯非結的結構——這種矛盾，是最具藝術張力的錯覺來源。
錯視的啟示：從視角到真實
錯覺藝術之所以迷人，在於它提出了哲學性的反思：你所見即為真實嗎？ 當我們從單一視角觀察世界時，是否忽略了其他可能的理解？Bakker 將這樣的觀點延伸至人生各面向，而這些作品也像是一種視覺的禪宗公案，提醒我們不要被表象所迷惑。
「使用科技來探索原子格點中的微觀結構，我希望觀者透過多角度的觀看旅程，發現潛藏於秩序中的美。」
──Anton Bakker
藝術家的背景
Anton Bakker
雕塑家，現居美國維吉尼亞州。曾長期與已故數學藝術家 Koos Verhoeff 合作。作品融合科技、數學與視覺認知，強調「從不同視角看世界」。
Tom Verhoeff
電腦科學副教授，荷蘭 Eindhoven University of Technology。活躍於數學教育與數學藝術領域，推廣視覺化的數學認知。
延伸作品：Quartangle 與 FCC 錯視結構
尺寸：150 × 150 × 150 公分
材質：鏡面拋光不銹鋼
創作年份：2025
特點：Bridges 2025 官方標誌設計投影來源
Quartangle 是一個由四個等邊三角形組成的拓撲鏈結（link），它們具有菱形的橫截面，嵌入於 面心立方晶格（Face-Centered Cubic, FCC） 的方向與節點上。這件作品展現了數學對稱性、錯視投影，以及晶格美學的完美結合。
該作品是經由電腦搜尋策略所發現，原始演算法發表於《Bridges 2024》的論文〈Looking for Lovely Links in Lattices〉中。Anton 與 Tom 開發的工具搜尋所有滿足幾何對稱與拓撲簡潔性的結構，Quartangle 是他們最驕傲的成果之一，並成為今年大會 logo 的靈感來源。
「我們尋找的不只是拓撲結構，而是視覺上『優雅而具有欺騙性』的幾何鏈結，就像自然中的對稱與秩序一樣耐人尋味。」
──Bakker & Verhoeff, Bridges 2024
從某角度看，Quartangle 看似複雜打結，然而從另一角度卻只是四段優雅繞行的直線。這種錯視呼應本系列的主旨──結構中的幻象，幻象中的秩序。
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