鎖在直角三角形裡的雙圓 二：代數解法

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Sangaku 題

🎬 電影《天地明察》中的算額問題

在電影《天地明察》中，主角澀川春海在金王八幡宮遇到的算額問題，正是直角三角形內含兩等圓的幾何難題。邊長為9、12、15的直角三角形是這類問題的經典代表，因為它構成完美的畢氏三元數（9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²），且比例為3:4:5。

問題定義與座標系設定

考慮一個直角邊為9和12、斜邊為15的直角三角形，其內部有兩個等圓（半徑r），滿足： 1. 圓O₁與直角邊AB(長度12)和斜邊BC相切 2. 圓O₂與直角邊AC(長度9)和斜邊BC相切 3. 兩圓彼此相切

📐 建立坐標系

設直角頂點 A(0,0)，B(12,0)，C(0,9)

斜邊 BC 的方程式：通過 B(12,0) 和 C(0,9)

斜率 m = (9-0)/(0-12) = -3/4

方程式：y = (-3/4)(x-12) = (-3/4)x + 9

標準式：3x + 4y - 36 = 0

逐步推導過程

第一步：求圓O₁的圓心座標

圓O₁與直角邊AB(y=0)相切，且半徑為r，故其圓心為(x₁, r)

它又與斜邊BC相切，根據點到直線距離公式：

\[\frac{|3x₁ + 4r - 36|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = r\]

由於圓在三角形內部，判斷 3x₁ + 4r - 36 < 0，因此：

\[ \frac{-(3x₁ + 4r - 36)}{5} = r\]

化簡得：

3x₁ = 36 - 4r - 5r = 36 - 9r
\[x_1 = 12 - 3r\]

第二步：求圓O₂的圓心座標

圓O₂與直角邊AC(x=0)相切，且半徑為r，故其圓心為$(r, y_2)$

它與斜邊BC相切，根據點到直線距離公式：

\[\frac{|3r + 4y_2 - 36|}{5} = r\]

由於圓在三角形內部，判斷 3r + 4y₂ - 36 < 0，因此：

\[\frac{-(3r + 4y_2 - 36)}{5} = r\]

化簡得：

\[4y_2 = 36 - 3r - 5r = 36 - 8r\]
\[ y_2 = 9 - 2r\]

第三步：兩圓相切條件

兩圓心距離等於兩半徑之和：

\sqrt{(x₁ - r)^2 + (r - y₂)^2} = 2r

代入x₁和y₂的表達式：

\[\sqrt{(12 - 3r - r)^2 + (r - 9 + 2r)^2} = 2r\]
\[\sqrt{(12 - 4r)^2 + (3r - 9)^2} = 2r\]

兩邊平方：

\[ (12 - 4r)^2 + (3r - 9)^2 = 4r^2\]

第四步：解方程求r

展開並整理方程：

\[ (144 - 96r + 16r^2) + (9r^2 - 54r + 81) = 4r^2\]
\[ 144 - 96r + 16r^2 + 9r^2 - 54r + 81 = 4r^2\]
\[ 225 - 150r + 25r^2 = 4r^2\]
\[ 21r^2 - 150r + 225 = 0\]

解這個二次方程：

\[ r = \frac{150 \pm \sqrt{150^2 - 4 \times 21 \times 225}}{2 \times 21}\]
\[ r = \frac{150 \pm \sqrt{22500 - 18900}}{42}\]
\[r = \frac{150 \pm \sqrt{3600}}{42} = \frac{150 \pm 60}{42}\]

取合理的解（r < min(9,12)）：

\[r = \frac{150 - 60}{42} = \frac{90}{42} = \frac{15}{7}\]
最終結果

✅ 解答

對於邊長為9、12、15的直角三角形，內部兩個等圓的直徑為：

\[ d = 2r = 2 \times \frac{15}{7} = \frac{30}{7} \approx 4.2857\]

每個圓的半徑 $$r = 15/7 ≈ 2.1429$$

和算家的解法思路

🧠 和算家的幾何智慧

江戶時代的和算家可能通過以下方式解決這個問題：

  1. 利用切線長性質：從直角頂點到圓與邊的切點距離相等
  2. 構造相似三角形：通過輔助線找出圓心與三角形邊的比例關係
  3. 建立方程：利用相切條件列出關係式並求解
  4. 巧妙代換：避免複雜計算，通過比例關係簡化問題

雖然沒有現代坐標幾何的便利，和算家依靠驚人的幾何直覺和創造性思維，也能得到正確結果。

數學意義與實際應用

📐 為何9-12-15三角形具有特殊意義？

江戶時代的和算家偏愛整數關係的幾何形狀，這不僅減少了計算複雜度，更體現了數學的和諧之美。9-12-15三角形具有以下特點：

  • 整數邊長：所有邊長均為整數，便於當時的計算
  • 常見比例：3:4:5是最著名的直角三角形比例，易於構造和驗證
  • 對稱性：雖然不是等腰直角三角形，但其邊長比例提供了獨特的對稱特性

這個問題的解答不僅具有理論價值，也在包裝學、工程設計和計算幾何等領域有實際應用價值。

結語 9-12-15直角三角形中的雙圓問題，不僅是一道數學難題，更是連接古今數學愛好者的橋樑。它展現了數學之美不在於計算的複雜性，而在於關係的和諧與邏輯的嚴謹。下次當你看到3:4:5的直角三角形時，不妨想像一下其中鎖著的兩個圓形，感受一下江戶時代數學家曾經體驗過的智力挑戰與解決問題的喜悅。

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