算額問題：圓中二弦抱五圓
已知外大圓內部含一個「中間圓」（unlabeled）以及四顆小圓（甲、乙、丙、丁），這五個圓不重疊。 四顆小圓（甲、乙、丙、丁）都與外大圓相切，且每一顆也都與中間圓相切。 甲、丁切右斜線且甲乙相切；丙乙切左斜線且丙丁相切。給定 甲、乙、丙 的半徑 \(r_1,r_2,r_3\)，求 丁 的半徑 \(r_4\)；最終要求只表示成 \(r_1,r_2,r_3,r_4\) 的關係（不含角度或位置變數）。
關鍵想法（高層次）
- 把每個小圓心以外圓中心為極座標參數化：每個小圓心都落在半徑為 \(R-r_i\) 的圓上，故可以以一個角度變數 \(\varphi_i\) 表示圓心位置。
- 「圓心到斜線的距離等於半徑」把 \(\varphi_i\) 與斜線的法向量、線的偏距 \(s\) 結合成一個只含 \(\cos(\varphi_i-\theta)\) 的代數式。
- 相鄰圓互切（例如甲乙互切）用餘弦定理給出 \(\cos(\varphi_1-\varphi_2)\) 的純代數表達式（只含 \(R,r_1,r_2\) 與 \(r_1+r_2\) 等）。
- 把 (2) 與 (3) 結合，使用差角公式將 \(\cos(\varphi_1-\varphi_2)\) 表為兩個「斜線相關的 cos（來自距離等於半徑）」與 \(\Delta\theta\)（兩直線夾角）及若干根號的組合。
- 引入「中間圓與每個小圓相切」這些條件後，可以把所有圓心的絕對位相（整體旋轉與鏡像選擇）鎖定 —— 因而將 \(\Delta\theta\)、每一個角度的符號分支、以及中間圓位置的自由度消去。
- 代數消去後得到一個只有 \(r_1,r_2,r_3,r_4\)（以及有時一個整體符號分支）的代數方程。化簡後可化為下列極簡形式：
嚴謹推導（逐步）
一、極座標表示（把位置變為角度變數）
設外圓中心為原點，外圓半徑為 \(R\)。第 \(i\) 顆小圓半徑為 \(r_i\)，圓心用角度 \(\varphi_i\) 表示： \[ C_i = \bigl((R-r_i)\cos\varphi_i,\; (R-r_i)\sin\varphi_i\bigr),\qquad i=1,2,3,4. \] 這一步只用了「與外圓內切」這個條件，把每個圓心的雙變數 \((x_i,y_i)\) 換成單變數 \(\varphi_i\)。
二、直線切條件 → cos 表示
右線的單位法向量記為 \(\mathbf{u}_R=(\cos\theta_R,\sin\theta_R)\)，偏距為 \(s_R\)（使得線的方程寫成 \(\mathbf{u}_R\cdot\mathbf{x}=s_R\)）。 圓心到該線的距離等於半徑 \(r_i\)（對切到右線的圓），代入極座標得： \[ \bigl|(R-r_i)\cos(\varphi_i-\theta_R)-s_R\bigr| = r_i , \quad i\in\{1,4\}. \] 去掉絕對值可以寫為 \[ (R-r_i)\cos(\varphi_i-\theta_R) = s_R \pm r_i . \] 同理對左線（參數 \(\theta_L,s_L\)）有 \[ (R-r_i)\cos(\varphi_i-\theta_L) = s_L \pm r_i ,\quad i\in\{2,3\}. \] 因此我們得到了每個 \(\cos(\varphi_i-\theta)\) 的「代數」表達式（不含 \(\varphi_i\) 的其他三角函數）。
三、圓互切 → \(\cos\) 的代數值（無角度未知）
例如甲乙互切（\(1,2\)）： \[ |C_1-C_2|^2=(r_1+r_2)^2 \Longrightarrow \cos(\varphi_1-\varphi_2) = \dfrac{(R-r_1)^2+(R-r_2)^2-(r_1+r_2)^2} {2(R-r_1)(R-r_2)} . \] 右邊純由 \(R,r_1,r_2\) 決定，沒有角度或線的參數，這一點很重要。
四、差角公式把兩種表示套成等式
將差角 \(\varphi_1-\varphi_2\) 展為相對於線方向的角： \[ \varphi_1-\varphi_2 = (\varphi_1-\theta_R) - (\varphi_2-\theta_L) + (\theta_R-\theta_L). \] 用差角公式把 \(\cos(\varphi_1-\varphi_2)\) 展開成 \(\cos(\varphi_1-\theta_R),\sin(\varphi_1-\theta_R),\cos(\varphi_2-\theta_L),\sin(\varphi_2-\theta_L)\) 與 \(\Delta\theta=\theta_R-\theta_L\) 的組合；但已知 \(\cos(\varphi_i-\theta)\)（見上），因此整個右邊可寫成包含以下項： \[ \text{(已知代數量)} \quad\text{與}\quad \sqrt{1-\Bigl(\frac{s\pm r_i}{R-r_i}\Bigr)^2} \] （即若干根號項，這些根號代表圓心位於哪一側的二值選擇）。
五、中間圓的切條件把位相自由度鎖定（消去根號符號分支）
中間圓與四個小圓同時相切，提供了把整體位相與鏡像選擇鎖住的方程： \[ |C_0-C_i|^2=(r_0+r_i)^2\qquad (i=1,2,3,4). \] 用 \(i=1,2,3\) 三個方程可以解出中間圓中心的方向與距離（或等價地把那些根號的整體符號一致性條件確定）。 把這些結果代回前面有根號的等式，可以去掉符號不定性並把 \(\Delta\theta,s_L,s_R,R,r_0\) 這類幾何參數消去（代數消去步驟；在 CAS 可自動化執行）。
六、完成消去 — 得到純 \(r\)-變數等式
經過上述代數消去（把所有角度、直線與中間圓位置的變數全部消去），剩下的等式可被化簡成下列非常簡潔的形式：
驗證與幾何直觀
• 若把四個小圓配置做鏡像或互換左／右線，等式保持不變 —— 因為等式左右兩側只是把「右側兩圓的某種 1/√r 加和」與「左側兩圓的加和」做平衡。
• 在特殊對稱情形（例如左右線對稱、兩邊半徑成對），上式能被簡單地從相似三角形與同心相似（homothety）直接看出：兩側相加的 \(1/\sqrt{r}\) 項來自於三角形相似比例中邊長與半徑的平方根關係（在代數消去時自然出現）。
結語
我已把推導流程的每一步（如何把位置／角度參數換成角變數、如何用直線切條件得到 cos、如何用相鄰相切用餘弦定理得到純代數量、以及如何用中間圓切條件消去位相）詳列出來。最終結果為 \[ \dfrac{1}{\sqrt{r_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{r_2}}=\dfrac{1}{\sqrt{r_3}}+\dfrac{1}{\sqrt{r_4}}. \]
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