眾裡尋他千百度：香山獅爪下的 C120

從北京守門獅、十二個五邊形，到一段跨越十餘年的數學旅行

我有一個很奇怪的習慣。

到北京看到公獅子，我會去看牠腳下的繡球。

不是先看雕工，也不是看花紋漂不漂亮，而是找五邊形。

因為如果那顆球真的是一個 fullerene（富勒烯），十二個五邊形，一個都不能少。

一、2018 年 4 月 15 日：香山東門

2018 年 4 月 15 日，我來到北京香山公園東門。

中國傳統宮殿、寺廟與園林入口，常有一對守門獅。 母獅腳下通常帶著幼獅，公獅則一腳踩著繡球。 這樣的景象在北京實在太常見了。

那幾年，我已經看過紫禁城、雍和宮、法源寺、頤和園、 圓明園裡許多大大小小的石獅與銅獅。 只要看到公獅，我總會走過去看看牠腳下的球。

香山東門的公獅，原本看來也沒有什麼不同。

我照例走近。

一個五邊形。

再一個。

換個角度，又是一個。

我開始繞著銅獅拍照，一面數，一面試著在腦中把被獅爪遮住的部分接起來。

愈看愈吃驚。

十二個五邊形，全都在。

我在那裡站了很久。

看過北京那麼多公獅腳下的繡球之後， 我終於找到了一個真正的 fullerene。

2018 年 4 月 15 日，香山公園東門。 第一次仔細確認這顆繡球上的十二個五邊形。

可是這個故事，其實要從四年前說起。

二、Eugene 給我看了一隻中國獅子

2014 年，我到 Tel Aviv 參加第二屆 Science, Technology and Art Relations 會議， 在那裡第一次認識以色列學者 Eugene Katz。

Eugene 長期對富勒烯結構 （fullerene-like structures） 在奈米、微觀、巨觀不同尺度中的出現很有興趣。 他的演講中出現了一張北京紫禁城中國守門獅 （Chinese guardian lion）的照片。

公獅的腳下踩著一顆繡球。 球面由五邊形、六邊形以及其他多邊形構成， 看起來非常像富勒烯。

我的第一個反應卻不是：

「原來中國古代早就有富勒烯！」

而是：

「等一下，這真的是富勒烯嗎？」

那時我還沒有去過北京，只能利用網路上的照片分析。 但愈看，我愈覺得事情沒有表面上那麼簡單。

這個問題後來成為我和 Eugene 合作的起點。 我們研究中國守門獅腳下各種奇特的多面體繡球， 最後一起寫了一篇關於富勒烯、正十二面體對稱與中國守門石獅子的文章。

回頭看，那其實是一場延續多年的數學旅行偵探故事 的開始。

三、十二個五邊形，一個也不能少

判斷問題的關鍵，其實只需要一點很基本的拓撲。

通常所說的富勒烯，是一個封閉的三價網格： 每個頂點連接三條邊，而所有面都是五邊形或六邊形。

利用 Euler 公式：

V − E + F = 2

再加上三價條件，可以得到一個非常漂亮的結果：

任何封閉、只含五邊形與六邊形的富勒烯， 一定恰好有十二個五邊形。

六邊形可以很多，也可以很少。

但是五邊形不能十一個，也不能十三個。

就是十二個。

所以看到中國獅子的繡球時，我真正想問的不是 「它像不像足球」，而是：

十二個五邊形在哪裡？

四、碳分子不能逃避 Euler；工匠可以

後來看過愈來愈多北京的守門獅，我逐漸注意到一件有趣的事情。

工匠似乎很喜歡六邊形。

在觀眾看得到的表面，他們常常盡量延續規則的六邊形圖案； 必要時才加入五邊形或其他多邊形，使紋樣可以在曲面上繼續。

可是獅子腳下的球有兩個很方便的地方可以「不做完」。

一個在獅爪下面。

另一個在球與底座接觸的地方。

這些地方本來就不容易被看見，所以不少繡球到了這裡， 網格乾脆沒有完整閉合。

從工藝角度看，完全合理。

但從拓撲角度看，事情就完全不同了。

「必須有十二個五邊形」談的是封閉球面。 如果表面留下邊界， 原來封閉富勒烯的 Euler 公式就不能直接套用。

所以這些繡球其實不能簡單說是「做壞的富勒烯」。

更合理的說法是：

工匠從來沒有義務把它做成富勒烯。

他只需要完成觀眾看得到的部分。

真正的碳籠卻沒有這種自由。 碳原子若要形成一個封閉籠子， 所有地方都必須接起來。

碳分子不能逃避 Euler；工匠可以。

五、2016：去看東西本身

2016 年，我第一次應邀到北京。

這一次終於可以不再只靠網路照片， 而是親自站在紫禁城的銅獅旁邊觀察。

我特別仔細拍攝乾清宮一帶的鎏金銅獅， 也意外碰到另外一個問題：年代。

網路上大量資料把這些獅子直接說成明代作品。 其中一個常見的推理似乎只是： 紫禁城建於明代，因此門口的銅獅也是明代。

但宮殿的年代，當然不等於今天站在宮殿前每一件器物的年代。

有趣的是，答案其實就刻在獅子身上。

銅獅腹部有鑄造年代的銘文，只是現場並不容易辨識。 拍照之後放大仔細看，才比較容易讀清楚。

這次經驗給我的印象很深。

不要只相信別人替一件東西貼上的標籤。
去看東西本身。

這個原則對歷史年代如此，對富勒烯也是如此。

不要因為一顆球看起來像足球，就叫它富勒烯。

去數五邊形。

六、2018：北京變成我的富勒烯田野調查

2018 年春天，我再次來到北京。

這一次是應北京大學王頴霞教授之邀， 在北大開授一門與珠弦模型有關的課程。 六週之中一共上了十餘次課。

這也是我第一次把珠弦模型的搭建真正組織成一門連續的課程。 回台之後，我才逐漸把它發展成更完整的通識課程 「分子美學」。

那六週也給了我一樣平常來北京開會很少擁有的東西：

時間。

於是北京開始變成我的富勒烯田野調查。

雍和宮——看獅子。

法源寺——看獅子。

頤和園——看獅子。

圓明園——還是看獅子。

只要看到公獅，我就去看牠腳下的球。

結果一次又一次：

都不是完整的富勒烯。

看多了之後，我也漸漸不再期待真的會找到一個。

直到 4 月 15 日，我決定去香山公園。

七、香山東門：這一次真的閉合了

香山東門也有一對銅獅。

我照例走到公獅旁邊。

原本心裡想：

大概又跟前面那些差不多吧。

可是愈看，愈不對。

這一次，五邊形沒有在獅爪附近消失。

我開始一個一個找。

換角度。

拍照。

再數一次。

最後確認：

十二個五邊形真的全部存在。

它不是只在可見部分模仿富勒烯的球形裝飾物。

它是一個真正封閉的三價五—六邊形網格。

換句話說：

它真的是富勒烯。

我在那裡久久不能離去。

最後還是進了香山，在山裡走了幾個小時。 可是出來以後，我又回到同一隻獅子旁邊。

再看一會兒。

又拍了幾張。

八、不是 C60，而是 C120

更有意思的是，它並不是最熟悉的 C₆₀， 也不是具有正二十面體高對稱性的標準 Goldberg 富勒烯。

我分析它的網格之後，得到的是：

C₁₂₀

並具有一條 C₆ 旋轉對稱軸。

從外觀看，它是一顆球。

可是從圖的拓撲來讀，它更像一個 兩端封閉的圓柱。

上下各有一個 coronene-like 圓帽， 經過一圈五邊形、六邊形交替的區域， 與中間的巨齒環形腰帶（zigzag cyclic belt） 相接。

5 − 6 − 5 − 6 − 5 − 6 − ⋯

工匠最後把整個網格調整、投影到近似球形的表面。

眼睛看到的是一顆球；
拓撲讀出來的是一個帽蓋圓柱體。

我們當然不知道設計這顆繡球的工匠是誰。

更不能說他「懂富勒烯」， 也不能說他「知道 Euler 定理」。

我們真正能說的是：

某位姓名已不可考的中國工匠， 在沒有現代 富勒烯化學語言的情況下， 製作出一個拓撲上相當於 C₁₂₀ 富勒烯 的封閉五—六邊形網格。

這究竟是偶然？

是某種傳統紋樣自然演化的結果？

還是工匠在長期製作球面圖案時， 經驗性地找到了某種閉合規律？

我不知道。

這個「不知道」，反而讓它更加迷人。

九、三十一天後：眾里尋他千百度

發現香山這顆球之後，我很快就在 Facebook 貼了幾張照片，解釋為什麼它是一個真正的富勒烯。

Eugene Katz 看到了，非常感興趣。 朋友 Dirk Huylebrouck 也看到了。 Eugene 還鼓勵我把它寫成一篇 Mathematical Tourist 的文章。

可是當時我覺得：

不過是一個小小的發現。

手邊又總有別的事情。

所以一直沒有寫。

沒想到只過了 31 天， 它就出現在另一場正式演講裡。

2018 年 5 月 16 日， 科學史家劉鈍教授在北京清華大學科學史研究所 創建週年的活動中演講，題目是：

〈從第邁歐到富勒烯——古代藝術與器物中的幾何學一瞥〉

講到香山東門銅獅時， 他的投影片上出現六個字：

眾裡尋他千百度

2018 年 5 月 16 日，劉鈍教授在清華大學演講。 投影片題為「眾裡尋他千百度」。

投影片裡有一張他的老照片。

小時候的劉鈍，就曾經到過香山， 甚至爬上那隻銅獅留影。

換句話說，他小時候早就來到那顆 C₁₂₀ 的旁邊。

當然，小劉鈍不可能知道富勒烯是什麼。

多年後，他成為著名的科學史家， 也看過北京不知多少銅獅， 卻沒有注意到這一隻腳下的繡球與其他地方不同。

接著他換了一張投影片。

上面是我的照片，旁邊就是香山東門的繡球。

他在演講中說明：

我是從金教授那裡知道， 香山公園東門公獅腳下的繡球是一個 C₁₂₀ 富勒烯。

那一天我正坐在台下聽劉教授的演講。

我順手把這兩張投影片拍了下來， 也拍下了劉鈍站在講台上、 後方正在投影「眾裡尋他千百度」的現場。

十、看見，不等於認出

劉鈍那張童年照片，後來讓我想到一個比富勒烯本身更有意思的問題：

一個人究竟什麼時候，才算真正「看見」一件東西？

小孩看到的是一隻可以爬上去拍照的大獅子。

一般遊客看到的是中國傳統守門獅。

藝術史家可能看到年代、造型、鑄造工藝與象徵。

可是學過 富勒烯拓撲的人走過去， 腦中可能馬上出現另一組問題：

十二個五邊形在哪裡？

每個頂點是不是三價？

表面有沒有閉合？

有什麼對稱？

物件完全沒有改變。

改變的是觀看者腦中已經存在的模型。

Seeing is not the same as recognizing.

這也是我多年教授「分子美學」與珠弦模型之後， 愈來愈感興趣的一件事情。

我們教 Euler 定理、多面體、Goldberg 建構， 不只是讓學生多記住幾條公式。

學會一種結構，也是在學會一種觀看世界的方法。

以前只是 裝飾品的東西，突然變成拓撲。

以前只是一顆繡球，突然可以讀成一個分子圖。

十一、2024：再去看看一位老朋友

六年以後，2024 年春天，我又回到北京大學作客， 也再次開授與珠弦模型有關的課程。

這一次，我已經超過六十歲。

這在北京意外帶來一個很實際的好處： 香山公園、頤和園、圓明園，都免費了。

於是那一段時間，我幾乎每週都會去香山一兩次。

主要是去爬山。

可是每次經過東門，我總會再去看看那隻銅獅， 以及牠腳下的 C₁₂₀。

2024 年 5 月 1 日重訪香山。 六年前是「發現」；六年後，已經像探望一位老朋友。

2018 年第一次站在那裡，我久久不能離去， 是因為不敢相信：

十二個五邊形真的全都在。

2024 年再看到它，已經不需要重新數了。

六年過去。

那隻獅子還在。

那顆 C₁₂₀ 也還在。

它已經從一個意外的發現，變成了一位老朋友。

十二、八年後的一封信

故事原本大概就會停在這裡。

直到最近，Eugene 又寫信給我。

他正在準備一本關於 富勒烯結構 與建築的書。

他還記得 2018 年我在 Facebook 貼出的香山銅獅，於是問：

那顆球，你後來發表了嗎？

我回答：

沒有。

我重新把當年拍攝的照片找出來寄給他， 也告訴他很歡迎把香山這隻獅子寫進他的書裡。

可是他的這封信，也把一段幾乎已經收進記憶抽屜裡的故事重新打開。

2014　Tel Aviv，Eugene 給我看紫禁城的守門鎏金銅獅子。

2016　第一次親自到北京，開始從實物重新調查。

2018.4.15　香山東門，找到真正閉合的 C₁₂₀。

2018.5.16　劉鈍在清華演講：「眾裡尋他千百度」。

2024　再次到北大授課，一次又一次回香山探望。

2026　Eugene 寫信問：「你後來發表了嗎？」

原來已經過了十多年。

2018 年，我覺得「找到一顆 C₁₂₀」 大概只是一件很小的事情，不值得特別寫成文章。

現在回頭看，真正值得留下來的， 也許從來不只是那個答案。

而是我們怎麼找到它。

尾聲：它一直就在那裡

劉鈍教授 2018 年投影片上的那句話， 現在看來實在選得太好了：

眾裡尋他千百度。

小劉鈍小時候已經爬到那隻獅子身上。

我則在北京看過一隻又一隻銅獅， 數過一顆又一顆不完整的繡球。

最後，那個真正的富勒烯 並沒有藏在博物館庫房裡， 也沒有藏在一本失傳古籍中。

它就在香山公園東門。

在一隻銅獅的腳下。

每天不知道有多少人從它身邊經過。

有些東西之所以很難被發現， 並不是因為它藏得很深。

它一直就在那裡。
只是我們還沒有學會怎麼看。

「眾里尋他千百度」——小劉鈍、2018 年的劉鈍，以及香山 C120 的發現者， 被一顆繡球串在同一段數學故事裡。

金子的珠窩筆記
關於分子、數學、珠弦模型，以及那些原本一直就在我們眼前的結構。