從獅爪到陶土：我在牙舟重新畫一顆富勒烯

在貴州牙舟參加陶藝體驗時，每位老師與學生面前都有一個已經做好基本瓶形的陶坯， 接下來可以自由發揮。

桌上很快熱鬧起來。

有人做動物，有人做恐龍，有人替瓶子加上眼睛、耳朵、嘴巴， 也有人把它變成一個有故事、有表情的小角色。 最後所有作品擺在一起，就像一場小型的陶藝嘉年華。

我的作品卻走了完全不同的方向。

我沒有想做人物，也沒有想做動物。

我腦中首先浮現的，是北京香山公園東門銅獅爪下的那顆繡球。

從香山獅爪下開始的一顆球

過去我曾經為香山銅獅爪下的幾何繡球寫過兩篇文章。

一篇談「獅掌中的富勒烯」，另一篇則進一步追問：

那顆看似只是裝飾的石雕繡球，究竟是不是一個具有明確數學結構的 fullerene？

後來的分析，把其中一個特別有意思的結構指向了 C₁₂₀， 而且具有漂亮的 C₆ 旋轉對稱。

這不再只是「像足球」而已。

Fullerene 是由五邊形與六邊形組成的三配位封閉網路。 對一個普通 fullerene 而言，不論它多大，都必須有：

12 個五邊形

對 C₁₂₀ 而言，六邊形的數目為：

N₆ = 120 / 2 − 10 = 50

因此一顆 C₁₂₀ 的表面，一共必須安排：

12 個五邊形 + 50 個六邊形

而且所有多邊形還必須正確連接、完整閉合。

當我站在牙舟的陶坯前時，自然而然就想到：

何不把香山獅爪下的 C₁₂₀，搬到牙舟陶上？

「畫幾個五邊形六邊形」有這麼難嗎？

一開始，我其實覺得沒有那麼困難。

我對 fullerene 的結構並不陌生，也知道 Euler relation：

V − E + F = 2

我知道十二個五邊形的規則，也知道三配位網路應該如何閉合。

但是，真的拿起工具，在一個陶瓶的曲面上一格一格畫下去， 我很快就發現：

知道 fullerene ≠ 能夠做出 fullerene

畫一個五邊形不難。

旁邊再接一個六邊形也不難。

甚至畫十幾二十個，看起來都還像模像樣。

真正困難的是： 最後能不能閉合？

局部每一塊看起來都合理，並不代表整個網路最後會正確。

local correctness ≠ global consistency

這大概是我這次牙舟陶體驗中最意外的發現。

更麻煩的是：陶瓶不是一顆球

如果只是在球面上畫 C₆₀，至少還有足球可以參考。

但眼前的陶瓶有圓鼓鼓的瓶腹、收縮的肩部，再接上一個細長的瓶頸。

它的曲率到處不同。

因此原本畫在理想 cage 上的 fullerene graph， 一旦搬到真實陶瓶上，就變成另一個問題：

abstract graph → curved-surface embedding

哪些地方應該放五邊形？

六重對稱軸如何沿著瓶子的長軸配置？

到了瓶肩，polygon 要如何逐漸收縮？

畫到最後，前面任何很小的誤差， 都可能在某個地方突然變成「接不起來」。

所以我最後做出的，其實是一個具有 fullerene 意象的陶瓶， 而不是我原先心中那個完完整整、拓撲完全正確的 C₁₂₀。

但也正因為沒有那麼順利， 反而讓這次體驗變得更有意思。

我開始重新看香山的工匠

以前看那些石獅爪下的繡球，我心裡一直有一個疑問。

幾百年前的工匠沒有學過 graph theory， 沒有 fullerene 這個名詞， 也大概不會寫：

V − E + F = 2

他們真的可能雕出數學上相當規整的多面體紋樣嗎？

我原先多少帶著一點現代人的直覺：

也許只是憑感覺畫出來的。

可是這次自己真正動手後，我反而不敢那麼輕易地下這個判斷了。

因為我有數學和化學背景，知道 fullerene 的規則， 卻還是很難在有限時間內， 把一個正確的網路做在陶器曲面上。

反過來說，傳統工匠雖然未必受過我們今天所謂的「數學訓練」， 卻可能有另一種非常深厚的幾何能力。

他們長年處理木作、石雕、磚雕、陶器、窗櫺、織紋、 對稱與曲面。

這些經驗本身，就是一種幾何訓練。

他們的數學不一定寫在紙上，而可能存在於：

眼睛 + 雙手 + 模板 + 比例 + 反覆練習

這是一種 tacit geometry——隱性的幾何知識。

形式數學與工藝幾何

這次經驗讓我越來越覺得， 真正漂亮而且幾何正確的作品， 可能需要兩種能力同時存在。

一種是現代數學所提供的 global constraint：

Euler topology + connectivity + symmetry

另一種則是工匠的手：

craftsmanship + surface control + construction sequence

因此理想的組合其實是：

professional craftsmanship
+
mathematical geometry

只懂數學，不一定做得出來。

只靠手感，也不一定能保證全局拓撲完全正確。

兩者碰在一起， 才真正有可能做出一顆漂亮又數學正確的 C₁₂₀。

一桌陶器，兩種不同的創意

最後大家把作品一起放在桌上。

有恐龍、有動物、有各種誇張的表情， 也有許多很有想像力的瓶子。

它們大多是從「造型」與「故事」出發。

我的陶瓶則有點不一樣。

它是從一個數學結構出發。

molecule → geometry → cultural object → ceramic art

所以它對我而言， 與其說是一件普通的陶藝作品， 不如說是一次小小的 mathematical art experiment。

很有趣的是，最後這件作品還得到第三名。

但回頭看，我覺得名次反而不是這次經驗最重要的收穫。

真正值得留下來的是： 親手做過一次之後，我重新理解了那些香山獅爪下的繡球， 也重新理解了傳統工匠。

從獅爪下發現數學，到陶土中理解工匠

其中一篇關於香山 fullerene 的英文文章， 目前已經送到 The Mathematical Intelligencer 審稿。

但是牙舟的這個小陶瓶， 卻讓原本的數學故事多出了一個意想不到的尾聲。

以前我是站在石獅前面問：

「這裡面是不是藏著一顆 fullerene？」

現在則變成：

「如果真的給我一塊陶土，我自己做得出來嗎？」

答案是：

比我想像中困難得多。

而這也讓我第一次真正體會：

看懂一個幾何結構，
≠
親手創造一個幾何結構。

也許，這就是這次牙舟陶體驗留給我最有意思的一堂課。

從獅爪下發現數學，
到陶土中重新理解工匠。